5.Первый и второй замечательный пределы

Первый замечательный предел

Док-во:

Второй замечательный предел

Док-во:

6.Док-во свойств б.м.(б)функций.(г)

7. Определение производной функции. Производная и дифференциал. Связь производной и дифференциала.

Пусть в некоторой окрестности точки и в самой точке определена функция .

Приращением аргумента х в точке называется разность . Приращением функции в точке называется разность .Это приращение зависит от двух аргументов и x. Геометрически x и f означают изменения абсциссы и ординаты точки на графике при перемещении из точки в точку

.

Определение. Если существует предел

то это число называется производной функции в точке . Этот предел можно записывать также в виде

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если она имеет конечную производную в этой точке. Выясним теперь связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Функция, для которой возможно разложение, называется дифференцируемой в точке х0. Дифференциалом функции f в точке х0 называется слагаемое f’ (х0)(х-х0). Таким образом, наличие в точке производной эквивалентно и дифференцируемости в этой же точке. Дифференциал также меет и специальное обозначение: df(x0)=dy(x0)= f’ (х0)(х-х0)

Пусть функция   определена в некоторой окрестности точки   и  - произвольная точка из этой окрестности. Тогда если выражение   имеет предел при  , то этот предел называется производной функции   в точке   (обозначается  ). Определение 21.2 Пусть функция   определена в некоторой левой (правой) полуокрестности точки  и  - произвольная точка из этой полуокрестности. Тогда если выражение  имеет левый (правый) предел при  , то этот предел называется левой (правой) производной функции   в точке   (обозначается  ). Если функция определена на некотором промежутке и в каждой его точке существует ее производная, то эта производная, очевидно, является функцией, определенной на данном промежутке (обозначается  ). Определение 21.3 Функция  , определенная в некоторой окрестности точки  , называется дифференцируемой в этой точке, если ее приращение  ,  представимо в виде  . Слагаемое  называется дифференциалом функции   в точке   (обозначается   или  ). Определение 21.4 Пусть функция   определена на промежутке   и имеет производную   в каждой его точке. Если функция   имеет производную в точке  , то она называется второй производной функции   в точке   (обозначается   или  ). Аналогично определяется производная n-го порядка  .

15. Признак монотонности функции. Условия существования точек локального экстремума.

Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении. Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Определение. Функция называется строго возрастающей (убывающей) в интервале (a, b), если выполняется (или ) (сравните с понятием монотонного возрастания и убывания). Следующая теорема позволяет найти интервалы возрастания и убывания функций с помощью ее производной. Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема в (a,b): 1.Если f(x) монотонно возрастает в (a,b) , то , . 2.Если , , то f(x) монотонно возрастает в (a,b). Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций. Итак, в интервалах возрастания или убывания функции знак производной не меняется. Теорема: Если функц. f(x) возрастает (убывает) на [a,b], то f’(x) , ( f’(x) ).

Док-во:

Пусть тогда если => => возрастающая. .

Условия существования точек локального экстремума.Определение. Точка называется точкой минимума (максимума) функции, , если она определена в некоторой окрестности этой точки и .Значение в этом случае называется минимумом (максимумом) функции. Точки минимума и максимума называются экстремальными точками, а соответствующие значения функции – экстремумами. Функция, определенная на отрезке , имеет там только одно наиболь­шее и наименьшее значения, но может иметь несколько максимумов и мини­му­мов. При этом некоторые максимумы могут быть меньше минимумов Теорема. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки х₀ и f ‘’(x₀) существует. Тогда, если f ‘’(x₀)>0, то x₀ - точка минимума, а если f ‘’(x₀)<0, то x₀ - точка максимума Определение. Точка x₀, в которой f(x₀) непрерывна, а y=f’(x)=0 или не существует, называется критической точкой этой функции. Теорема (необходимое условие экстремума).Если в точке х=х₀ функции f(x) достигает экстремума, то f ’(x₀)=0 Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция y=f(x) непрерывна в окрестности U(x₀) критической точки x₀ и дифференцируема в U(x₀) кроме быть может самой точке x₀. Тогда1) если в U(x₀) f ‘ (x)>0 при х<x₀ и f ‘(x)<0 при x>x₀, то x₀  точка максимума; 2) если в U(x₀) f ‘ (x)<0 при х<x₀ и f ‘(x)>0 при x>x₀, то x₀  точка минимума; 3) если в U(x₀) f ‘ (x)>0 или f ‘(x)<0 при x x₀, то в x₀  экстремума нет. Теорема. Достаточные условия экстремума функции. Если в точке x0 выполняются условия: 1) f /(x0) = 0; f //(x0) < 0, тогда x0 – точка максимума; 2) f /(x0) = 0; f //(x0) > 0, тогда x0 – точка минимума; 3) f /(x0) = 0; f //(x0) = 0, тогда вопрос о поведении функции в точке остается открытым. Здесь может быть экстремум, например, в точке x0 = 0 у функции y = x4, но может его не быть, например, в точке x0 = 0 у функции y = x5. В этом случае для решения вопроса о наличии экстремума в стационарной точке можно использовать достаточные условия экстремума, приведенные выше. Итак, чтобы определить экстремальные точки функции необходимо найти все ее критические точки и установить знаки производной в интервалах между ними. Затем согласно достаточному условию экстремума исследуются найденные критические точки. Точки непрерывности функции, где производная меняет свой знак с “плюса” на “минус”, являются точками максимума; точки, где производная меняет свой знак с “минуса” на “плюс”, являются точками минимума; точки, где производная свой знак не меняет, экстремальными не являются.