3)Непрерывность функции в точке

Непрерывность функции в точке Функция называется непрерывной в точке х=а, если: 1)при х=а функция имеет определенное значение у=в 2)при х→а функция имеет предел тоже равный в.Точки разрыва функции: Определение устранимого разрыва первого рода. В точке   функция имеет устранимый разрыв первого рода, если предел слева равен пределу справа, но они не равны значению функции в точке ,то есть  .Определение неустранимого разрыва первого рода (точка скачка функции). В точке   функция имеет неустранимый разрыв первого рода, если пределы слева и справа НЕ равны, то есть  . Точку   в этом случае называют точкой скачка функции. Определение разрыва второго рода (бесконечный разрыв). В точке   функция имеет разрыв второго рода, если либо предел слева  , либо предел справа  , не существует или бесконечен.

4)Непрерывность сложной функции

Непрерывность сложной функции. Введём понятие сложной функции. Пусть функции   и   определены на множестве X и Y соответственно, причём множество значений функции   содержится в области определения функции f Тогда функцию, принимающую при каждом  значение  , называют сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций   и f и обозначают  .Теорема. Если функция z=f(y) непрерывна в точке  , а функция   непрерывна в точке   , причём   , то в некоторой окрестности точки   определена сложная функция  , и эта функция непрерывна в точке   . ○ Пусть задано произвольное число  . В силу непрерывности функции f в точке  существует число   такое, что   и  (2) где  . В силу непрерывности функции   в точке   для найденного в (2) числа  можно указать число   такое, что

 (2')

Из условий (2) и (2') следует, что на множестве   определена сложная функция , причём

 где  , т.е.

Это означает, в силу определения непрерывности, что функция   непрерывна в точке 

Обратная функция Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b] и ее  значения принадлежат отрезку [c, d]. Если   (символ   читается «существует одно и только одно») такое, что y = f(x), то говорят, что на отрезке [c, d] определена функция  , обратная к функции f(x). Только обычно при записи обратной функции меняют местами переменные x и y и записывают ее в обычной форме  .Основное свойство обратной функции имеет вид .

       Теорема. Пусть f(x) строго монотонно возрастает и непрерывна на [a, b]. Тогда на интервале [c, d], где c=f(a), d=f(b) существует непрерывная строго монотонно возрастающая обратная функция  .

11)Логарифмическое диеренцирование

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций.  Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f(x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей:

Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x.

Отсюда видно, что искомая производная равна