22.Геометрический и физический смысл определенного интеграла.

С помощью определенных интегралов можно находить площади плоских фигур при различных способах задания границ области, длины дуг кривых, объемы тел и площади поверхностей вращения. Площадь области , ограниченной линиями и графиками непрерывных на функций , где на , находится по формуле Нахождение длины дуги кривой Пусть кривая с концами и на плоскости задана с помощью графика непрерывно дифференцируемой функции , где . Разобьем эту кривую на частей точками , где имеет координаты , , (рис 9).

длину вписанной в ломаной с вершинами в выбранных точках обозначим через . Определение. Длиной кривой называется предел суммы длин ломанных, вписанных в эту кривую, при максимальном , стремящемся к нулю Будем обозначать ее через . . Кривая, имеющая длину (если указанный предел существует), называется спрямляемой. Теорема. График непрерывно дифференцируемой на функции спрямляем, и его длина находится по формуле .Следствие. Пусть кривая на плоскости задана с помощью непрерывно дифференцируемых параметрических функций

Тогда эта кривая спрямляема, и ее длина находится по формуле . Вычисление объемов тел вращения с помощью определенных интегралов В случае, если тело T образовано вращением криволинейной трапеции, задаваемой непрерывной функцией на вокруг , площадь круга находится по формуле , т.к. есть радиус этого круга. Объем указанного тела вращения определяется соотношением .

23. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция монотонна и непрерывно дифференцируема на отрезке , где , , тогда .

Нахождение определенного интеграла по частям

Теорема. Пусть функции и непрерывно дифференцируемы на отрезке , тогда верно равенство .

Это равенство в сокращенном виде можно записать и так .

1)Множество(математическая аксиома)- совокупность элементов, имеющих общие свойства. -счётные(м\у мн-вом и элементами можно ставить соответствие) -ограниченные(сверху, снизу, просто ограниченные) –неограниченные –несчётные Числовые множества: множество, элементами которого являются числа Окрестность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. величина У наз-ся функцией переменной величины Х(аргумент), если каждому из тех значений, которые может принимать Х, соответствует одно или несколько значений У. Функция   называется нечётной, если справедливо равенство график симметричен началу координат Функция   называется чётной, если справедливо равенство график симметричен оси У Функция   называется периодической с пери́одом   , если справедливо . Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении. Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. )

2)Функция одной переменной – функция, которая имеет только один аргумент. Предел функции- (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке. Односторонний предел числовой функции в точке — это специфический предел, подразумевающий, что аргумент функции приближается к указанной точке с определённой стороны (слева или справа). Числовая функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы. Свойства предела функции: Пусть даны функции   и  . Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел Предел суммы равен сумме пределов:

Предел разности равен разности пределов: Предел произведения равен произведению пределов: Предел частного равен частному пределов.