16.Условия выпуклости и вогнутости функции. Асимптоты функции.

Если на интервале (a;b) график функции f(x) расположен выше любой своей касательной, проведенной в точке этого интервала к графику функции, то функция называется вогнутой на этом интервале (иногда говорят "выпуклой вниз") Рис. 4.4.

Если на интервале (a;b) график функции f(x) расположен ниже любой своей касательной, проведенной в точке этого интервала к графику функции, то функция называется выпуклой на этом интервале (иногда говорят "выпуклой вверх") Рис. 4.5. Теорема. Если f ‘’(x) > 0 на интервале (a;b), то на этом интервале функция f(x) вогнута ("выпуклая вниз"). Если f ‘’(x) < 0 на интервале (a;b), то на этом интервале функция f(x) выпукла ("выпуклая вверх"). Опред.: Множество точек, где f ‘’(x₀) = 0 называюся точкой перегиба. Точка x₀ называется точкой перегиба функции f(x), если в этой точке функция имеет производную и график функции переходит от выпуклости вверх к выпуклости вниз или наоборот. Асимптоты функции Определение. Прямая L называется асимптотой для кривой k, если расстояние от точки M на k до L стремится к нулю при удалении M в бесконечность (т.е. при |OM| )

Опр1: Если , то прямая x=a назыв вертикальной асимптотой. Опр2: Если , то прямая y=b назыв горизонтальной асимптотой Опр3: Если , , то прямая y=kx+b назыв№ наклонной асимптотой.

21.Определённый интеграл. Формула Ньютона – Лейбница. Свойства определенного интеграла. Определение. Криволинейной трапецией называется область на плоскости , ограниченная осью , прямыми , , где и графиком непрерывной на функции (см. рис 1).

Для простоты можно считать, что , т.е. трапеция расположена выше оси . Приближенно площадь криволинейной трапеции можно найти, заменив ее суммой площадей прямоугольников с малыми основаниями и высотами, равными значениям функции в некоторых выбранных точках. Определение. Разбиением отрезка на частей называется набор чисел из этого отрезка, где и . В каждом отрезке (элементарном участке) разбиения выберем некоторую точку , где Такое разбиение будем обозначать буквой , а длину элементарного участка через . Пусть на отрезке определена некоторая функция . Определение. Интегральной суммой для функции , построенной по разбиению отрезка , называется сумма произведений значений функции в выбранных точках на длины элементарных участков. Такую сумму будем обозначать через . Если , то интегральная сумма равна площади ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников с основаниями и высотами (см. рис 1), т.е. приближенно равна площади соответствующей криволинейной трапеции. Определение. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм этой функции по разбиениям , у которых максимальный стремится к нулю, т.е. . Если на , то этот интеграл выражает точную площадь соответствующей криволинейной трапеции. Формула Ньютона – Лейбница Пусть интегрируема в отрезке и . Определим новую функцию для с помощью соотношения Теорема Если функция непрерывна в , то функция является первообразной для функции в , т.е. в этом интервале . Теорема (Ньютона - Лейбница) Пусть функция непрерывна в отрезке и функция есть ее первообразная на этом отрезке, тогда .Часто разность здесь записывают в сокращенном виде: . Свойства определенного интеграла 1) , - постоянная. 2) Если на , то . 3) Если на отрезке функция ограничена снизу и сверху числами и , т.е. если на , то .4) Теорема о среднем. Пусть функция непрерывна на отрезке , тогда на этом отрезке найдется такая точка , что . Это значение называется средним значением функции на .

5) . Это свойство называется оценкой модуля определенного интеграла. 6) Если выполняется неравенство , то . Определение. Если , то интегралом называется число . Интеграл считается равным нулю Док-во: