Полиномы crc и бит чётности

Контроль по чётности фактически является специальным случаем проверки избыточности циклической суммы с полиномом x+1.

Примеры

Бит чётности или контрольный разряд формируется при выполнении операции «Исключающее-ИЛИ» поразрядно. Рассмотрим схему, использующую девятибитные кодовые слова, состоящие из восьми бит данных, за которыми следует бит чётности.

• Число 10111101 содержит 6 '1' битов. Бит чётности будет 0, получаем кодовое слово 101111010.

• Число 01110011 содержит 5 '1' битов. Бит чётности будет 1, получаем кодовое слово 011100111.

• Число 00000000 содержит 0 '1' битов. Бит чётности будет 0, получаем кодовое слово 000000000.

Пустой или несуществующий поток битов также имеет ноль единичных битов, поэтому бит чётности будет 0.

Избыточные коды - одно из наиболее принятых средств обеспечения высокой достоверности принимаемых сообщений.

При избыточном кодировании используется только часть кодовых комбинаций называемых разрешенных. Они должны отличаться друг от друга более чем в одном разряде все остальные комбинации не используются и относятся к запрещенным.

9. Основные принципы построения кодов Хемминга с исправлением ошибок. Самоконтролирующиеся коды

Коды Хэмминга являются самоконтролирующимися кодами, то есть кодами, позволяющими автоматически обнаруживать ошибки при передаче данных. Для их построения достаточно приписать к каждому слову один добавочный (контрольный) двоичный разряд и выбрать цифру этого разряда так, чтобы общее количество единиц в изображении любого числа было, например, четным. Одиночная ошибка в каком-либо разряде передаваемого слова (в том числе, может быть, и в контрольном разряде) изменит четность общего количества единиц. Счетчики по модулю 2, подсчитывающие количество единиц, которые содержатся среди двоичных цифр числа, могут давать сигнал о наличии ошибок.

При этом невозможно узнать, в каком именно разряде произошла ошибка, и, следовательно, нет возможности исправить её. Остаются незамеченными также ошибки, возникающие одновременно в двух, в четырёх или вообще в четном количестве разрядов. Впрочем, двойные, а тем более четырёхкратные ошибки полагаются маловероятными.

Самокорректирующиеся коды

Коды, в которых возможно автоматическое исправление ошибок, называются самокорректирующимися. Для построения самокорректирующегося кода, рассчитанного на исправление одиночных ошибок, одного контрольного разряда недостаточно. Как видно из дальнейшего, количество контрольных разрядов k должно быть выбрано так, чтобы удовлетворялось неравенство  или  , где m — количество основных двоичных разрядов кодового слова. Минимальные значения k при заданных значениях m, найденные в соответствии с этим неравенством, приведены в таблице.

Диапазон m	kmin
1	2
2-4	3
5-11	4
12-26	5
27-57	6

В настоящее время наибольший интерес представляют двоичные блочные корректирующие коды. При использовании таких кодов информация передаётся в виде блоков одинаковой длины и каждый блок кодируется и декодируется независимо друг от друга. Почти во всех блочных кодах символы можно разделить на информационные и проверочные. Таким образом, все комбинации кодов разделяются на разрешенные (для которых соотношение информационных и проверочных символов возможно) и запрещенные.

Основными характеристиками самокорректирующихся кодов являются:

1. Число разрешенных и запрещенных комбинаций. Если n - число символов в блоке, r - число проверочных символов в блоке, k - число информационных символов, то   - число возможных кодовых комбинаций,   - число разрешенных кодовых комбинаций,   - число запрещенных комбинаций.

2. Избыточность кода. Величину   называют избыточностью корректирующего кода.

3. Минимальное кодовое расстояние. Минимальным кодовым расстоянием d называется минимальное число искаженных символов, необходимое для перехода одной разрешенной комбинации в другую.

4. Число обнаруживаемых и исправляемых ошибок. Если g - количество ошибок, которое код способен исправить, то необходимо и достаточно, чтобы 

5. Корректирующие возможности кодов.