12. Нестационарная теплопроводность. Направляющая точка. Физический смысл Bi, Fo.

Нестационарная теплопроводность – процесс при котором температура в заданной точке твердого тела изменяется во времению совокупность указанных температур образует нестационарное температурное поле, нахождение которого и является основной задачей нестационарной теплопроводности. Процессы нестационарной теплопроводности имеют большое значение для отопления, вентиляции, кондиционирования воздуха, теплоснабжения и теплогенерирующих установок. Ограждения зданий испытывают изменяющиеся во времени тепловые воздействия как со стороны наружного воздуха, так и со стороны помещения таким образом в массиве ограждающей конструкции осуществляется процесс нестационарной теплопроводности. Задачу об отыскании трехмерного температурного поля можно сформулировать в соответствии принципами, изложенными в разделе «математическая формулировка задач теплообмена». Формулировка задачи включает уравнение теплопроводности: , где – коэффициент температуропроводности м²/с, а также условия однозначности, позволяющие выделить единственное решение из множества решений уравнения, различающихся значением констант итегрирования.

Условия однозначности включают начальные и граничные условия. Начальные условия задают значения искомой функции t в начальный момент времени по всей области D. В качестве области D, в которой необходимо найти температурное поле, будем рассматривать прямоугольный параллелепипед с размерами 2, 2l_y, 2l_z, например, элемент строительной конструкции. Тогда начальные условия можно записать в виде: при  =0 и -х; - l_yуl_y; -l_zzl_z имеем t = t(x, y, z,0) = t₀(x, y, z). Из этой записи видно, что начало декартовой сстемы координат расположено в центре симметрии параллелепипеда.

Граничные условия сформулируем в форме граничных условий III рода, часто встречающихся на практике. Граничные условия III рода задают для любого момента времени на границах области D коэффициент теплоотдачи и температуру окружающей среды. В общем случае на различных участках поверхности S области D эти величины могут быть различными. Для случая одинакового коэффициента теплоотдачи  на всей поверхности S и всюду одинаковой температуры окружающей среды t_ж граничные условия III рода при  >0 можно записать в виде: ; ;

где . S – поверхность, ограничивающая область D.

Температура в каждом из трех уравнений берется на соответствующей грани параллелепипеда.

Рассмотрим аналитическое решение сформулированной выше задачи в одномерном варианте, т.е. при условии l_y,l_z ». В этом случае требуется найти температурное поле вида t = t(x, ). Запишем формулировку задачи:

уравнение ;

начальное условие: при  = 0 имеем t(x, 0) = t₀ = const;

граничное условие: при x = ,  > 0 имеем .

В соответствии с этими выражениями имеется бесконечная пластина толщиной 2, изготовленная из материала с коэффициентом темературопроводности а и обладающая в начальный момент времени температурой t₀. пластина резко переносится в среду с температурой t_ж и коэффициентом теплоотдачи . С этого момента температура в пластине изменяется так, чтобы удовлетворялось уравнение . Задача состоит в том, чтобы получить конкретную формулу t = t(x, ), позволяющую найти температуру t в любой точке пластины в произвольный момент времени.

Сформулируем задачу в безразмерных переменных, это позволит сократить записи и сделает решение более универсальным. Безразмерная температура равна , безразмерная координата равна Х = х/. Подставив эти величины в уравнение получим , где - число Фурье (безразмерное время).

Начальное условие запишется в следующем виде: Fo = 0;  = 1.

Граничное условие запишется как: Fo > 0; Х =1; , где – число Био.

Формулировка задачи в безразмерном виде содержит единственный параметр – число Био, которое в данном случае является критерием, так как составлено только из величин, входящих в условие однозначности. Использование числа Био связано с нахождением температурного поля в твердом теле, поэтому в знаменателе Bi – теплопроводность твердого тела. Bi – наперд заданный параметр и является критерием.

Если рассматривать 2 процесса нестационарной теплопроводности с одинаковыми числами Био, то, согласно третьей теореме подобия, эти процессы подобны. Это значит, что в сходственных точках (т.е. при Х₁=Х₂; F_o1=F_o2) безразмерные температуры будут численно равны: ₁=₂. следовательно, произведя один расчет в безразмерном виде, мы получим результат, справедливый для класса подобных явлений, которые могут различаться размерными параметрами t₀ и t_ж.

13. Нестационарная теплопроводность для неограниченной плоской стенки.

См вопрос 12.

17. Уравнение энергии. Условия однозначности.

Уравнение энергии описывает процесс переноса теплоты в материальной среде. При этом ее распространение связано с превращением в другие формы энергии. Закон сохранения энергии применительно к процессам ее превращения формулируется в виде первого закона термодинамики, который и является основой для вывода уравнения энергии. Среда, в которой распространяется теплота, предполагается сплошной; она может быть неподвижной или движущейся. Поскольку случай движущейся среды является более общим, используем выражение первого закона термодинамики для потока: (17.1), где q – подводимая теплота, Дж/кг; h – энтальпия, Дж/кг; w – скорость среды в рассматриваемой точке, м/с; g – ускорение свободного падения; z – высота, на которой расположен рассматриваемый элемент среды, м; l_тр – работа против сил внутреннего трения, Дж/кг.

В соответствии с уравнением 17.1 подводимая теплота затрачивается на увеличение энтальпии, кинематической энергии и потенциальной энергии в поле сил тяжести, а также на совершение работы против вязких сил. Работа трения преобразуется в теплоту, представляющую собой часть подводимой теплоты: , где dq_то – теплота, подводимая в результате теплообмена со средой, окружающей рассматриваемый элемент жидкости; dq_тр – теплота, выделяющаяся при работе сил внутреннего трения.

Следовательно уравнение 17.1 можно представить следующим образом: (17.2).

Т.к. (17.3).

П одсчитаем количество подводимой и отводимой теплоты в единицу времени для элемента среды в виде прямоугольного параллелепипеда, размеры которого достаточно малы для того, чтобы в его пределах можно было бы предположить линейное изменение плотности теплового потока. По оси 0х в левую грань элемента за единицу времени подводится количество теплоты , из правой грани отводится: ; их разность равна .

Проводя аналогичную операцию для осей 0y и 0z, получим соответственно разности: ; . Просуммировав все три разности получим результирующее количество теплоты, подводимое(или отводимое) в элемент за единицу времени.

Ограничимся случаем потока с умеренной скоростью, тогда количество подведенной теплоты равно изменению энтальпии. Если предположить, что элементарный параллелепипед неподвижно зафиксирован в пространстве и его грани проницаемы для потока, то указанное соотношение можно представить в виде: (17.4), где – быстрота изменения энатльпии в неподвижной точке пространства, охватываемой элементарным параллелепипедом; знак «минус» введен для согласования переноса теплоты и изменения энтальпии: результирующий приток теплоты<0 должен вызывать увеличение энтальпии.

Установим связь уравнения 17.4 с температурным полем t = t(x, y, z, ). Энтальпия есть функция двух параметров состояния h = h(p, T) и ее дифференциал равен (17.5).

Второе слагаемое несущественно, поэтому можно считать, что (17.6).

Вектор плотности теплового потока равен сумме двух векторов: молекулярного переноса (теплопроводности) и конвективного переноса (17.7).

Первый из них определяется законом Фурье (17.8), а второй – выражением (17.9), смысл которого очевиден: – есть плотность потока массы, а – плотность потока энтальпии, переносимой этой массой. Окончательно имеем следующее выражение для вектора плотности теплового потока (17.10).

Вывод уравнения энергии завершается подстановкой выражений (17.6) и (17.10) в уравнение (17.4). поскольку эта операция имеет формальный характер, проведем преобразования только для оси 0х: (17.11).

При постоянных физических параметрах среды получаем следующее выражение для производной: (17.12). Получив аналогичные выражения для проекций на другие оси, составим из них сумму, заключенную в скобки в правой части уравнения (17.4). И после некоторых преобразований получим уравнение энергии для несжимаемой среды при умеренных скоростях течения:

(17.13).

Левая часть уравнения характеризует скорость изменения температуры движущейся частицы жидкости. Правая часть уравнения представляет собой сумму производных вида и определяет, следовательно, результирующий подвод (или отвод) теплоты за счет теплопроводности.

Таким образом уравнение энергии имеет явный физический смысл: изменение температуры движущейся индивидуальной частицы жидкости (левая часть) определяется притоком теплоты в эту частицу от окружающей ее жидкости за счет теплопроводности (правая часть).

Для неподвижной среды конвективные члены равны нулю, вследствие чего получаем следующее уравнение теплопроводности:

, где – температуропроводность, комплексный теплофизический параметр вещества среды, представляющий собой отношение способности тела проводить теплоту  к его теплоаккумулирующей способности .