4. Произведение матриц.

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведение матрицы на матрицу называется матрица такая, что

c_ik=a_i1*b_1k+a_i2*b_2k+…+a_in*b_nk. где (i=1,m, j=1,n)

т. е. элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-гo столбца матрицы В.

Получение элемента C_ik схематично изображается так:

 

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А*Е=Е*А=А, где А-квадратная матрица, Е-единичная матрица того же размера.

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = ВА. Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1. А*(В*С)=(А*В)*С;

2. А * (В + С) = АВ + АС

3. (А+В)*С=АС+ВС;

4. а(АВ) = (аА)В,

если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл. Для операции транспонирования верны свойства:

1. (A+B)^T=A^T+B^T

2. (АВ)^Т=В^TА^T  

5. Определители. Основные понятия

Квадратной матрице А порядка N можно сопоставить число det A (или |A|), называемое ее определителем следующим образом:

Определитель матрицы А также называют ее детерминантом. Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка N является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда. При этом заметим, что определители невысоких порядков (1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно определению.

Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать так:

6. Свойства определителей.

Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка.

Свойство 1. («Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

Иными словами:

В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами определителя.

Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

 Действительно,

Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Например,

Свойство 6. («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.