26. Некоторые приложения смешанного произведения.

Определение взаимной ориентации векторов в пространстве

Определение взаимной ориентации векторов а, b и с основано на следующих соображениях. Если abc > 0 , то а , b , с — правая тройка; если abc <0 , то а, b , с - левая тройка.

Установление компланарности векторов

Векторы а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю

  

Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды

Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с вычисляется как V =|аbс|, а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен V=1/6*|abc |.

27. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.

Расстояние d между двумя точками  ( ,  ,  ) и  ( ,  ,  ) в пространстве определяется формулой

.

Координаты x, y, z точки М, которая делит отрезок  , ограниченный точками  ( ,  ,  ) и  ( ,  ,  ), в отношении  , определяется по формулам

,  ,  .

В частности, при   имеет координаты середины данного отрезка:

,  ,  .

Пусть даны точки A(x₁;y₁)  и B(x₂;y₂).

Координаты точки М(х,у), лежащей на отрезке АВ и делящей его в данном отношении:

вычисляются по формулам:

В частности, при   получаются формулы для координат середины отрезка:

Пример 2. Известны точки A(-2;5), B(4;17)- концы отрезка [AB]. На этом отрезке находится точка М, расстояние которой от А в два раза больше расстояния от В. Определить координаты точки М.

Решение. Так как |AM|=2|MB|, то  .  Здесь x₁=-2, y₁=5, x₂=4, y₂=17; следовательно,   то есть M(2;13).

Пример 3. Точка M(2;3) служит серединой отрезка [AB]. Определить координаты точки А, если B(7;5).

Решение. Здесь x=2, y=3, x₂=7, y₂=5, откуда

то есть A(-3;1)

28. Прямая линия. Уравнение прямой с угловым коэффицентом.

Уравнение с угловым коэффициентом.

k= tg α – угловой коэффициент.

Если b=0 то прямая проходит через начало координат. Уравнение примет вид

Если α=0, то k = tg α = 0. То прямая пройдет параллельно оси ох.

Если α=π/2, то уравнение теряет смысл. В этом случае уравнение примет

вид и пройдет

параллельно оси оу.

29. Общее уравнение прямой.

Уравнение вида

 

называется общим уравнением прямой.

Общее уравнение прямой.

Уравнение прямой как линию пересечения двух плоскостей. Рассмотрим:

Т.к. прямая перпендикулярна векторам n₁ и n₂ то

направляющий вектор запишется как векторное произведение:

30. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффицентом.

Уравнение   является уравнением прямой, которая проходит через точку   ( ,  ) и имеет угловой коэффициент k.

Если прямая проходит через точки  ( ,  ),  ( ,  ), то ее угловой коэффициент определяется по формуле

.

31. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки. M1(x1;y1;z1) M2(x2;y2;z2) В качестве направляющего вектора можно задать вектор Следовательно: , тогда Уравнение прямой, проходящей через 2 точки. К (х1;у1) М (х2;у2)