14. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Сначала следует привести систему к треугольному (ступенчатому) виду, а затем

ступенчато решить.

Метод Гаусса применим для решения системы линейных алгебраических уравнений c невырожденной матрицей системы. Идея метода Гаусса состоит в том, что систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x₁ , x₂ , ..., x_n

приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей

15. Система линейных однородных уравнений.

Однородные системы линейных уравнений 

Система однородных уравнений всегда имеет нулевое решение. Если ранг матрицы

меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Для того, чтобы система имела ненулевые решения, необходимо, чтобы ее

определитель был равен нулю.

    Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rankA < n.

     Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

    

 Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения   образуют нормированную фундаментальную систему.

     В линейном пространстве   множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r;   - базис этого подпространства.

Однородные системы уравнений. Фундаментальная система решений.

Система однородных уравнений всегда имеет нулевое решение. Если ранг матрицы

меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Для того, чтобы система имела ненулевые решения, необходимо, чтобы ее

определитель был равен нулю.

Векторы. Основные понятия. Вектором называется направленный отрезок. Обозначается вектор  ,  ,  ,  , AB, a (А – начало вектора, В – его конец). Нулевым вектором (обозначается  ) называется вектор, начало и конец которого совпадают. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, или модулем, или абсолютной величиной (обозначается  ,  ). Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых (обозначают  , а также  , если векторы сонаправлены, и  , если они противоположно направлены). Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Два вектора называются равными, если они сонаправлены ( ) и имеют равные длины ( ). Обозначают  . Для каждого вектора  , отличного от нулевого вектора, существует противоположный вектор, который обозначается   и удовлетворяет условиям:  ,  .

17. Операции над векторами: сложение, умножение вектора на число, произведение вектора на скаляр.

Произведение вектора на скаляр

Произведением вектора   на действительное число m называется вектор , который удовлетворяет условиям: Следовательно, если векторы   и   коллинеарные, то Скалярное произведение векторов и его свойства. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению этих векторов на косинус угла между ними. 1. 2. 3. 4.

Сложение векторов:

Суммой   двух векторов   и   называется вектор, который идет из начала вектора   в конец вектора   при условии, что вектор   приложен к концу вектора   (правильно треугольника). Построение суммы   изображено на рис. 1.

Наряду с правилом треугольника часто пользуются (равносильным ему) правилом параллелограма: если векторы   и   приведены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма   есть вектор, совпадающий с диагональю этого паралеллограмма, идущей из общего начала   и   (рис. 2). Отсюда сразу следует, что  .

Сложение многих векторов производится при помощи последовательного применения правила треугольника (см. рис. 3, где изображено построение суммы четырех векторов  ,  ,  ,  ).

При умножении вектора на число его проекция умножается на то же число:

.

В частности, если

,  ,

то

,

и

.

Если  , то для любого числа 

.