Проекция вектора на ось и ее свойства. Теоремы о проекциях векторов.
Проекцией
вектора 
на
ось 
называется
длина отрезка A'B',
заключенного между проекциями конца и
начала вектора на эту ось. Этой длине
приписывается знак плюс, если направление
отрезка A'B' совпадает
с направлением оси, и знак минус, если
его направление противоположно
направлению оси.
Проекция вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительными направлениями оси и вектора (см. рисунок).
Проекция
вектора 
на
ось 
обозначается
через al или 
,
а угол между осью
и
вектором
будем
обозначать так: 
.
Таким образом,
(2)
Если 
-
углы, образованные вектором
с
координатными осями Ox, Oy и Oz прямоугольной
системы координат, то проекции вектора
на
координатные оси будут равны
(3)
В дальнейшем предполагается, что система координат - прямоугольная.
Модуль вектора через его проекции на оси прямоугольной системы координат вычисляется по формуле
(4)
т. е. модуль вектора равен арифметическому значению квадратного корня из суммы квадратов его проекций.
Вектор равен нулю, если все три его проекции равны нулю (этим положением пользуются, например, в механике при выводе необходимых и достаточных условий равновесия тела под действием системы сил, проходящих через одну точку).
Если
векторы 
и 
равны,
то равны и их проекции:
a1x = a2x; a1y = a2y; a1z = a2z. (5)
Если
для вектора 
известны
координаты его начала A(x1, y1, z1)
и координаты его конца B(x2, y2, z2),
то проекции вектора
на
координатные оси определяются по
формулам
ax = x2 - x1; ay = y2 - y1; az = z2 - z1, (6)
а модуль вектора в этом случае определится по формуле
(7)
Очевидно, что по формуле (7) следует вычислять и расстояние между точками A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2).
Проекции вектора на ось
Обозначения: 
-
проекции вектора 
на
ось l; 
-
величина проекции вектора
на
ось l.
Свойства
проекций: 
Составляющие
(компоненты) вектора 
(рис.
1.25):
Координаты
вектора
: 
(
-
углы, образуемые вектором
с
положительными направленями осей
координат Ox, Oy, Oz прямоугольной
декартовой системы координат).
, 
, 
называются
направляющими косинусами
вектора 
где 
Если 
-
единичный вектор в направлении
,
то 
Теорема (о проекции вектора на ось): проекция вектора на ось равна длине этого вектора, умноженной на косинус угла между векторами и осью.
Следствие: Равные вектора имеют равные проекции на одну ось.
Направленный отрезок называется ортогональной проекцией на ось
Теорема (о проекции суммы векторов): проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций двух векторов на ту же ось.
Теорема (о проекции произведения скаляра на вектор): при умножении вектора на скаляр , его проекция на ось умножается на этот же скаляр
Линейная зависимость векторов
Линейная комбинация n векторов – это вектор вида
(1)
где – некоторые действительные числа (коэффициент линейной комбинации)
если представлен в виде (1), то говорят, что он разложен по системе векоров (i=1?n)
3. cos = или в координатной форме:
4. = или в скалярной форме: =
Пример:
