18 Вопрос

См.17 вопрос

19 Вопрос Векторное изображение синусоидально изменяющихся величин

На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, равной w. Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е₁ и е₂ (рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времени (t=0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w. Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.

 

Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток    равен сумме токов    и    двух ветвей:

 .

Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением

 и  .

Результирующий ток также будет синусоидален:

 .

Определение амплитуды   и начальной фазы    этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы.  На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t=0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным   .

Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:

 .

Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения    и    из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения    путем формального учета угловой частоты:   .

20 Вопрос Представление синусоидальных эдс, напряжений и токов комплексными числами

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

К аждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :

показательной    

тригонометрической        или

алгебраической        - формах.

Например, ЭДС   , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число

 .

Фазовый угол    определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

  .

В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

,

(4)

 

Комплексное число    удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:

,

(5)

 

Параметр   , соответствующий положению вектора для t=0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой:   , а параметр    - комплексом мгновенного значения.

Параметр   является оператором поворота вектора на угол wt относительно начального положения вектора.

Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота    есть его поворот относительно первоначального положения на угол ±a.

Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака “j” произведения комплекса амплитуды    и оператора поворота   :

 .

Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:

,

(6)

Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:

 ,

- то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу   , т.е. угол, который образует вектор    с положительной полуосью +1:

 .

Тогда мгновенное значение напряжения:

 ,

где   .

При записи выражения для определенности было принято, что   , т.е. что изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах. Если   , то при   (второй квадрант)

,

(7)

а при    (третий квадрант)

(8)

или

(9)

Если задано мгновенное значение тока в виде   , то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:

 .

Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.

Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результирующего тока    по рис. 5 получим:

  _где   ;

 .

Теория: