3. Частные производные функции нескольких переменных

Определение. Полным приращением функции в точке называют функцию , определяемую формулой = , где , - приращения независимых переменных.

В терминах приращений определение непрерывности имеет вид .

Определение. Eсли переменной дать некоторое приращение , а оставить постоянной , то функция получит приращение , называемое частным приращением функции по переменной в точке : = . Аналогично, если переменная получает приращение , а остается постоянной , то частное приращение функции по переменной , то есть имеет вид: = .

Определение. Производная от функции по , взятая в предположении, что аргумент является постоянным, называется частной производной от по и обозначается . или , или .

Из определения следует равенство: .

Аналогично определяется и обозначается частная производная от функции по : или , или , т.е. .

Частные производные функции многих переменных находятся по известным правилам дифференцирования функции одной независимой переменной.

Пример 1: Найти частные производные функции .

Решение: , или .

.

.

Пример 2: Найти частные производные функции .

Решение: ; = .

Аналогично определяются частные производные функций любого числа независимых переменных.

Пример 3: Найти частные производные функции .

Решение: , , .

4. Дифференцируемость функции двух переменных

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде: .

Необходимые условия дифференцируемости

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке частные производные и , причем =А, =В.

Замечание. Обратные утверждения к теоремам неверны: из непрерывности, а также из существования частных производных не следует дифференцируемость функции. Например, функция непрерывна в точке (0,0), но не имеет в этой точке частных производных, следовательно, недифференцируема.

Достаточное уcловие дифференцируемости

Теорема. Если функция имеет частные производные в некоторой d-окрестности точки М, то функция дифференцируема в этой точке М.

5. Полный дифференциал функции

Определение. Дифференциал функции , найденный при условии, что одна из независимых переменных изменяется, а вторая остается постоянной, называется частным дифференциалом, то есть по определению

, или , , где , - произвольные приращения независимых переменных, называемые их дифференциалами.

Определение. Главная часть полного приращения функции

= , линейно зависящая от приращений независимых переменных и , называется полным дифференциалом функции и обозначается . .

Зная, что и используя теорему о связи дифференцируемости и частных производных, дифференциал можно переписать в виде , или .

Аналогично полный дифференциал функции трех переменных имеет вид: и т.д.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если в этой точке она имеет дифференциал.

При достаточно малых приращениях аргументов, полное приращение функции можно с как угодно малой относительной погрешностью заменить ее полным дифференциалом, то есть . Такая замена широко используется в приближенных вычислениях, так как дифференциал вычислить легче, чем полное приращение.

Пример 1. Найти полное приращение и полный дифференциал функции .

Решение.

Первые два слагаемых, линейные относительно и и есть дифференциал , то есть .

Пример 2: Найти полный дифференциал функции .

Решение: Найдем частные производные данной функции ; , , тогда полный дифференциал .

Пример 3: Найти полный дифференциал и полное приращение функции в точке при и .

Решение: