11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Определение.
Плоскость, проходящая через точку
поверхности, называется касательной
плоскостью к поверхности
в этой точке, если угол между секущей,
проходящей через точку
и любую точку
поверхности и плоскостью стремится к
нулю, когда точка
стремится к точке
.
Определение. Нормалью к поверхности в точке называется прямая, проходящая через перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.
Если
поверхность задана уравнением
и точка
лежит на ней, то:
1) касательная плоскость к поверхности в точке определяется уравнением
2) нормаль к поверхности в точке (прямая, проходящая через точку перпендикулярно к касательной плоскости) определяется уравнениями
Замечание.
Если уравнение поверхности задано явным
образом:
,
где частные производные
в точке
конечны (и могут быть равны нулю
одновременно), то:
1)
уравнение касательной плоскости к
поверхности в точке
имеет вид:
,
или
.
2)
уравнение нормали
Определение.
Точки поверхности
,
где одновременно обращаются в нуль все
частные производные первого порядка
называются особыми.
В особых точках поверхность не имеет ни касательной плоскости, ни нормали.
Пример.
Найти уравнения касательной плоскости
и нормали к эллиптическому параболоиду
в точке
.
Решение.
Запишем уравнение поверхности в виде
и найдем частные производные
Вычислим
значения частных производных в точке
:
тогда
– уравнение касательной плоскости,
преобразуем его: 2х – 4у – z
– 3 = 0.
Запишем
уравнения нормали
12. Производная по направлению. Градиент
Рассмотрим
функцию
и произвольный единичный вектор
.
Для характеристики скорости изменения
функции в точке
в направлении вектора
вводится понятие производной по
направлению.
Определение.
Производной
функции
в точке
по
направлению вектора
(обозначается
)
называется предел отношения приращения
функции
к
при
,
то есть
,
где
- величина отрезка
,
.
Если
функция
дифференцируема в точке
,
то в точке
существует производная по любому
направлению
,
исходящему из
,
которая вычисляется по формуле:
,
где
- напраляющие косинусы вектора
(или
).
В
случае функции трех переменных
производная в данном направлении
определяется аналогично:
,
где
- напраляющие косинусы вектора
.
Пример
1.
Найти производную функции
в точке
по направлению биссектрисы первого
координатного угла.
Решение. Находим частные производные функции и вычисляем их значения в точке :
.
Запишем
формулу для вычисления производной
функции
в точке
по направлению
Для биссектрисы первого координатного угла:
Определение.
Градиентом
функции
в точке
называется
вектор,
координаты которого равны соответствующим
частным производным
и
,
вычисляемым в точке
и обозначается
,
то
есть
,
или
.
Градиент
функции и производная в направлении
вектора
связаны формулой:
.
Замечание.
Градиент
функции
в точке
характеризует направление и величину
максимальной скорости возрастания этой
функции в данной точке. Производная
в направлении градиента имеет наибольшее
значение, равное
.
В случае функции трех переменных градиент функции равен:
Пример
2.
С какой наибольшей скоростью может
возрастать функция
при переходе точки
через точку
?
Решение.
Наибольшая по абсолютной величине
скорость изменения (возрастания или
убывания) функции
при переходе точки
через точку
численно равна модулю градиента функции
в точке
.
При этом функция будет возрастать с
наибольшей скоростью, если точка
при переходе через точку
будет двигаться по направлению градиента
функции в точке
;
функция будет убывать с наибольшей
скоростью, если точка
при переходе через точку
будет двигаться по прямо противоположному
направлению градиента функции в точке
.
Найдем
частные производные функции
и
:
Далее
найдем
модуль
численно равен искомой наибольшей
скорости возрастания функции
при переходе
через
:
Пример
3.
Найти точки, в которых функция
стационарна (т.е. точки, в которых
производная по любому направлению равна
нулю).
Решение.
Чтобы в некоторой точке
производная функции по любому направлению
была равна нулю, необходимо и достаточно,
чтобы в этой точке все частные производные
первого порядка функции одновременно
обращались в нуль. Найдем частные
производные функции
:
Решим систему:
.
и
– точки, в которых функция
стационарна.