13. Экстремумы функции двух переменных. Условный экстремум

Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , в которой для любой точки выполняется неравенство ( ).

Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимые условия существования экстремума

Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то ее частные производные первого порядка в этой точке одновременно равны нулю, то есть , или не существуют.

Замечания. 1) Условия не являются достаточными условиями существования экстремума. Например, функция в точке имеет равные нулю частные производные, но ни в какой окрестности этой точки не сохраняет знак.

2) Точки, для которых выполнены необходимые условия, называются стационарными или критическими. Однако стационарная точка может и не быть точкой экстремума. Чтобы стационарная точка была точкой экстремума должны выполняться достаточные условия существования экстремума.

Достаточные условия существования экстремума

Введем обозначения:

.

Тогда, если:

2) то экстремума нет;

3) то экстремум может быть, а может и не быть.

Пример 1. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдем критические точки из условия

Точки и являются критическими, так как функция определена на всей плоскости .

Рассмотрим точку , найдем и составим определитель Δ.

Таким образом, в точке нет экстремума.

Рассмотрим точку .

, тогда точка есть точка минимума. Найдем

Пример 2. Найти экстремумы функции

Решение. Найдем критические точки.

Таким образом, и – точки, принадлежащие области определения исследуемой функции, однако эти точки расположены не внутри этой области, а на ее границе . Поэтому точки и не являются критическими. Частные производные существуют во всей области определения функции . Поэтому данная функция, как не имеющая критических точек, не имеет экстремума.

Определение. Условным эстремумом функции называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные и связаны уравнением (уравнение связи).

Отыскание условного экстремума можно свести к исследованию на обычный экстремум так называемой функции Лагранжа , где - неопределенный постоянный множитель.

Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид:

Из этой системы трех уравнений можно найти неизвестные , и .

Пример. Найти экстремум функции , если , и связаны уравнением .

Решение. Рассмотрим функцию Лагранжа . Имеем . Из системы уравнений (необходимые условия экстремума) , исключив , получим систему , решением которой являются значения . Нетрудно заметить, что в точке функция принимает наименьшее значение .

14. Наибольшее и наименьшее значения функции

Понятия наибольшего и наименьшего значений функции многих переменных определяются так же, как и для функции одной переменной.

Наибольшее и наименьшее из всех значений функции нельзя смешивать с максимумом или минимумом функции, которые являются наибольшим или наименьшим значением функции только по сравнению с ее значениями в соседних точках.

Если функция разрывна или непрерывна в незамкнутой области, то она может не иметь ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Замечание. Функция, непрерывная в некоторой ограниченной замкнутой области, обязательно имеет в этой области наибольшее и наименьшее значения. Эти значения достигаются ею или в точках экстремума, лежащих внутри области, или в точках, лежащих на границе области.

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области необходимо:

1. Найти стационарные (критические) точки, лежащие внутри этой области и вычислить значения функции в этих точках (не вдаваясь в исследование, будет ли в них экстремум функции и какого вида).

2. Найти наибольшее или наименьшее значение функции на границе области.

3. Из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее значение функции.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в круге .

Решение: 1. Найдем критические точки функции , лежащие внутри круга и вычислим ее значение в этих точках:

найдем критическую точку, решая систему уравнений

. Следовательно, – критическая точка.

Других критических точек нет. .

2. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на границе заданной области – на окружности . Уравнение окружности связывает между собой переменные и . Выразим, например, переменную

, и подставим в выражение функции , преобразуем ее в функцию одной переменной:

, , где .

Далее находим наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке , которые и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции на границе заданной области – на окружности.

а) Найдем критические точки функции , лежащие внутри отрезка , и вычисляем ее значения в этих точках: , при – это единственная критическая точка, лежащая внутри отрезка . Значение в точке .

б) Вычисляем значения на концах данного отрезка: .

в) Сравнивая вычисленные значения во внутренней критической точке и на концах отрезка и , заключаем: наибольшее значение функции на отрезке равно , а наименьшее значение на данном отрезке равно , т.е. , .

3. Сравнивая значение во внутренней критической точке с ее наибольшим и наименьшим значениями на окружности, заключаем: наибольшее значение функции в данной замкнутой области – круге равно и достигается ею в граничных точках и , а ее наименьшее значение в этой области равно и достигается в граничных точках и , то есть,

.