15. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
Найти область определения функций и построить в плоскости :
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Для функции
вычислить
;
;
;
;
;
.Найти
,
если
Найти
Найти
,
если
.Вычислить пределы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
7. Указать точки или линии разрыва функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Найти частные производные функций:
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
;
ж)
; з)
;
и)
; к)
.
Доказать, что если
,
то
Доказать, что если
,
то
Доказать, что если
,
то
Доказать, что если
,
то
,
найти значения частных производных
при
,
найти значения частных производных
при
.
,
вычислить
в точке
Найти частные производные функций:
а)
в точке
;
б)
в точке
;
в)
в точке
;
г)
в точке
;
д)
в точке (3;
3);
е)
в точке
.
17. Исследовать на дифференцируемость функции:
а)
в точке О(0;0);
б)
в точке О(0;0).
18.
Найти
из уравнений:
а)
б)
в)
г)
19. Найти полные дифференциалы функций:
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
;
ж)
; з)
.
20. Найти значение полного дифференциала функции:
а)
при
;
б)
при
;
в)
при
.
21.
Найти
,
если:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
22.
Вычислить
и
для функции
при
.
23.
Вычислить
и
для функции
,
когда
изменяется от 2 до 2,1, а
– от 1 до 0,9.
24. Вычислить приближенно:
а)
; б)
;
в)
;
г)
.
25. Вычислить значение полного дифференциала функции:
а)
при перемещении точки
из положения
в положение
;
б)
при перемещении точки
из положения
в положение
.
26.
На сколько изменится диагональ и площадь
прямоугольника со сторонами
м
и
м,
если первая сторона увеличится на 2 мм,
а вторая уменьшится на 5 мм?
27.
Центральный угол сектора
увеличился на
.
На сколько следует уменьшить радиус
сектора R
= 20 см, чтобы площадь сектора осталась
без изменения?
28.
При деформации цилиндра радиус R
увеличился с 20 см до 20,5 см, а высота
уменьшилась со 100 см до 98 см. Найти
приближенно изменения объема
по формуле
29. Найти производные сложных функции:
1)
2)
3)
30.
Найти
,
если
31. Найти из уравнений:
а)
б)
32.
Найти
,
если
а)
б)
33. Найти производные сложных функций
а)
где
;
б)
где
;
в)
где
34.
Пусть
где
Доказать, что
для любой дифференцируемой функции
.
35.
Пусть
,
где
.
Выразить
через
и показать, что
36.
Доказать, что если
где
то
37. Найти производные неявных функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
д)
-?;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
,
.
38. Найти , если функция задана неявно:
а)
б)
в)
г)
39.
Пусть
(*)
и
Найти:
а)
,
если
есть неявная функция, определяемая
уравнением (*);
б)
,
если
есть неявная функция, определяемая
уравнением (*).
40. Найти частные производные второго порядка от следующих функций:
а)
; б)
;
в)
;
г)
;
д)
; е)
;
ж)
;
з)
;
и)
.
41.
Проверить равенство
,
если
а)
;
б)
; в)
.
42.
Найти
,
если
.
43.
Найти
,
если
.
44.
Найти
,
если
.
45.
Проверить, что
для функции
.
46. Найти частные производные третьего порядка от функции:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
47.
Проверить, что функция
удовлетворяет уравнению
.
48.
Найти
,
если:
а)
б)
в)
.
49.
Найти
и
,
если
.
50.
Найти
,
если
.
51. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности:
а)
в точке
;
б)
в точке
;
в)
в точке
.
52.
Найти касательные плоскости к эллипсоиду
,
параллельные плоскости
.
53.
Определить плоскость, касательную к
поверхности
и параллельную плоскости
.
54.
Найти уравнения касательных плоскостей
к параболоиду
в точках пересечения его с прямой
.
55.
Написать уравнения нормали в точке
к поверхности конуса
56.
Написать уравнения нормали к поверхности
в точке
.
57.
Найти углы с осями координат нормали к
поверхности
в точке
.
58. Построить линии уровня плоских скалярных полей:
а)
б)
в)
,
соответствующие
значениям
.
59.
Пусть
.
Построить линии уровня:
а)
в любой точке прямой
;
б)
в любой точке прямой
.
60. Построить линии уровня скалярных полей:
а)
б)
соответствующие
значениям
.
Найти и построить градиент каждого поля
в точках
;
.
61.
Пусть
Найти
в точке (-1: 2) и
.
62.
Пусть
.
Найти
и его длину.
63.
Найти производную функции
в точке
:
а) по направлению радиуса–вектора точки ;
б)
по направлению вектора
64.
Найти производную функции
по направлению вектора
в любой точке и в точках
и
.
65.
С какой наибольшей скоростью может
убывать функция
при переходе точки
через точку
?
66.
Найти точки, в которых функция
стационарна.
67. Найти экстремум функции:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
.
68. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данную диагональ l, найдите размеры такого параллелепипеда, объем которого был бы наибольшим.
69. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
а)
в квадрате
б)
в круге
в)
в замкнутой области, ограниченной
линиями
70.
Найти наибольшее значение функции
в треугольнике, ограниченном прямыми
.