42. Интегральная формула Коши. Теорема о производных аналитической функции.
Интегральная формула Коши.
Пусть
аналитическая
в односв обл D,ограниченная
кусочно гладким контуром Г, и непрерывна
в D,тогда
для
внутренней
т z
имеет место интегральная формула Коши.
Доказательство:
удалим круг радиуса
.
:
.
-многосвязная
обл.
-аналитическая
в
.
=
-следствие
из интегральной теоремы Коши.
-
|=|
-
|=|
-
|=|
|
=
(Свойство 5.)
=(
аналитические
непрерывная
>0
>0
|z-z
|<
|z-z
|=
)
*
* 2П
=
=|
-
|
.
=
.
Замечание:
Если обл
неодносвязна,
то имеет место интегральная формула
Коши, но Г –совокупность контуров,
которая обходится таким образом , чтобы
обл.
оставалась слева.
Примеры.
z=0,z=6.
А) Г:|z-2|=1 
Б) Г:|z-2|=3
=
- Пi/3.
В) Г:|z-2|=5 1. 1/z(z-6)=1/6 * 1/(z-6) * 1/6z
1/6
1/6
=1/6*2Пi*
|
-
1/6*2Пi*
|
=Пi/3*e
-Пi/3.
2.
2Пi*
|
+2Пi
|
=Пi/3
* (-1+e
).
Теорема. Если
аналитическая
в односвязной обл
и
непрерывна в
,обл
ограничена кусочно гладким контуром
Г, то
внутренней
точки z
,
(z)
,Г
обходят таким образом ,чтобы
оставалось
слева.
Идея доказательства.
1/
мы можем
дифференцировать под знаком
по
параметру z.
1/
2/
_ _ _
n!/
.
n!/
.
Пример:
=2Пi/2!(sinz)
|
=
-Пisini=Пsh1
Аналитическая в
обл
ф-ция дифференцируемая бесконечное
число раз.
Каждая производная аналитической ф-ции также является аналитической ф-цией.
43. Ряды в комплексной области. Ряд Тейлора.
=
+i
cx
,
-на
абс сходимость.
Пример.
Сх абс. Сх абс. Сх абс.
Функциональные ряды комплексной переменной.
(*)
-
однознач ф-ция КП, опред на
.
-
частичная сумма =
=
-
функц ряд сходится к
.
, в котором ряд сх – множество сходимости.
Равномерная сходимость.
Опр. Ряд (*) сх
равномерно на
к
,
если
,что
Признак Вейерштрасса:
Если
|
|
- мажоранта (действ ряд) сходится, то тогда
сх равномерно на
к
.
Теорема 1 Если 1 - непрерывна в
2 ряд
(z)
сх равномерно в
к
,то
непрерывна в обл
.
Теорема 2 Если 1 - непрерывна в
ряд (z) сх равномерно в к ,то тогда кривой L
(допустимой
для интегрирования)
Теорема 3 Если 1 - аналитическая в
2 ряд (z) сх равномерно в замкнутом G k ,то тогда также аналитическая ф-ция в и ряд можно дифференцировать почленно любое число раз.
притом ряды также
будут сходится равномерно на
замкнутом
множестве G
.
Степенные ряды в комплексной области.
,z,z
По теореме Абеля
,что
ряд сх внутри круга |z-z
|<R
и расходится вне круга |z-z
|>R
R=
R=
На границе может быть точка, в которой ряд сх и расх
Внутри круга
сходимости можно выделить |z-z
|
<R
в котором сходимость равномерная.
- мажоранта
Сумма степенного
ряда - ф-ция непрерывная аналитическая
, интегрируема почленно по любому пути
лежащему внутри круга |z-z
|
,дифференцируема
почленно любое количество раз(при этом
радиус сходимости остается тот же)каждый
степенной ряд является рядом Тейлора
для своей суммы.
C
=
Ряд Тейлора.
R=
(r
,Г)
Теорема .Пусть аналитическая в односвязной обл с границей Г и r -вн точка обл .
Тогда в круге
|r-r
|<R
ф-ция
(r)
разлагается в степенной ряд
(r)=
,
Который
я172.31.12.191вляется рядом Тейлора для
.
Если z0 = 0, то ряд МакЛорена.
Все основные разложения эл. фун-й справедливы и здесь.