9. Структура общего решения лоду.

Т6: у каждого ЛОДУ y⁽ⁿ⁾+р₁(x)y^(n-1)+…+р_n(x)y=0 (3) с непрерывными на (a, b) коэф-ми р_k(x), k=1,…, n,  n линейно независимых решений y₁(х), y₂(х),…, y_n(х), где х(a, b). Общее решение этого ур-ния имеет вид у(х)= С_iy_i(x).

Док-во:

(*)

W[y₁, y₂,…, y_n]=W(x₀)= =10 => y₁, y₂,…, y_n – линейно независ. в силу Т5.

у(х)= С_iy_i(x) – тоже решение. Осталось показать, что других решений не будет:

пусть - решение.

=у0, ,…, ()

Покажем, что можем подобрать произвол. постоянные, такие что С_iy_i(x)

Эта с-ма линейных неоднородных алгебр. ур-ний относит. С₁,…, С_n. Определитель этой с-мы W(x₀)0 => с-ма ур-ний относит. С₁,…, С_n имеет единств. решение, значит можем подобрать С такой чтобы С_iy_i(x) => у(х)= С_iy_i(x) явл. общим решением ЛОДУ порядка n. ч.т.д.

Сов-сть любых n линейно независимых частных решений ЛОДУ n-го порядка наз. его фундаментальной с-мой решений. Фунд. с-ма решений полностью определяет ЛОДУ.

10. Лоду с постоянными коэф-ми.

y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+…+a_n-1y+a_ny=0 (4), a₁,…, a_n – числа; y=e^x подставим в (4)

⁽ⁿ⁾e^x+a₁^(n-1)e^x+…+a_n-1e^x +a_ne^x=0; e^x (⁽ⁿ⁾+a₁^(n-1)+…+a_n-1+a_n)=0; e^x 0 =>

⁽ⁿ⁾+a₁^(n-1)+…+a_n-1+a_n=0 – характеристическое ур-ние. ₁,…, _n – корни.

1) все _iR и это простые корни. Каждому простому корню будет соответствовать частное решение e^ix; 2) k=k  ik; e^kx=e^kx(coskx+i sinkx); e^kxcoskx, e^kxsinkx – частные решения; 3) _iR кратности m; e^ix,хe^ix,…, х^m-1e^ix; 4) k=k + ik, k=k - ik – кратности m; e^kxcoskx, хe^kxcoskx,…, х^m-1e^kxcoskx,

e^kxsinkx, хe^kxsinkx,…, х^m-1e^kxsinkx, 2m линейно независимых частных решений.

e^kx *e^ikx =e^kx(coskx  i sinkx), e^kxcoskx, e^kxsinkx.

11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения: принцип суперпозиции решений, структура общего решения. Метод вариации постоянных (метод Лагранджа) построения общего решения.

Линейные неоднородные ДУ.

y⁽ⁿ⁾+р₁(x)y^(n-1)+…+р_n(x)y=f(x), L[y]=f(x)

Т7: если есть решение ЛНДУ L[y]=f(x), а у0(х) – решение соответ-щего ЛОДУ L[y]=0, то +у0(х) есть решение ур-ния L[y]=f(x). Док-во: L[ +у0]=f(x) – это надо док-ть. L[ +у0]=L[ ]+L[у0]=f(x)+0=f(x) ч.т.д.

Т8 (принцип суперпозиции): если у1(х) есть решение ур-ния L[y]=f1(x), а у2(х) – решение L[y]=f2(x), то у1(х)+у2(х) явл. решением L[y]=f1(x)+f2(x). Док-во: L[у1(x)+у2(x)]= L[у1(x)] +L[у2(x)]=f1(x)+f2(x) ч.т.д.

Т9 (структура общего решения ЛНДУ): уон=учн+уоо, уон=у* + С_iy_i(x). Док-во: Рассмотрим набор чисел С1,…, Сn. у=у* + С_iy_i(x) => по Т7 у явл. решением L[y]=f(x). у – произв. решение L[y]=f. у|_x=x0=y₀; у|_x=x0=y₀;…; у^(n-1)|_x=x0=y₀^(n-1). Рассмотрим у–у*:

L[y–y*]=L[y]–L[y*]=f(x)–f(x)=0. у–у* – решение ЛОДУ L[y]=0 ч.т.д.

Интегрирование ЛНДУ методом Лагранжа.

y^// + p₁(x)y^/ + p₂(x) = f(x) (1)

p₁(x), p₂(x), f(x) – непрерывны на [a;b]

y^// + p₁(x)y^/ + p₂(x)y = 0 (2)

Предполож., что известна фундомент-ая система реш. y₁(x), y₂(x)

y_о.о = c₁y₁(x) + c₂y₂(x)

y_о.н = c₁(x)y₁(x) + c₂(x)y₂(x)

Найти с₁(х) и с₂(х) – имеем систему 2-х ур-ий