22.Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов: теоремы о непрерывности суммы, о почленном дифференцировании и почленном интегрировании.
Теорема1:(о непрерывности функционального ряда)
1)Пусть все члены
ряда
непрерывны на D
2) ряд - сходится равномерно на мн-ве D, тогда S(x) явл непрерывной функцией на мн-ве D
Теорема2: ( о по членном интегрировании функц ряда)
1)
непр.[a;b]
2)
сходится равномерно на [a;b],
тогда возраст можно интегр на
причем
сход равномерно на [a;b]
Теорема3: ( о почленном диф функц ряда)
Пусть:
1) сход на [a;b]
2) непрерывно диф на [a;b]
3)
-сход
равномерно на [a;b]
Тогда ряд - можно диф почленно
-т.е.
S(x)
непрер диф функция
23. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал (круг) сходимости степенного ряда.
Функциональные
ряды вида
(1),
где
,
,
R
или
(1’),
где
,
,
( или - центр разложения) называется степенными рядами.
Теорема Абеля:
Если степенной ряд
сходится
при x=
0,
то этот ряд сходится абсолютно для всех
x
таких, что
.
Доказательство : Ряд сходится при
,
значит
Рассмотрим
ряд
сходится,
т. к. 0<q<1=>
сходится,
значит
сходится
абсолютно.
Следствие: Если расходится при x=, то ряд будет расходиться для всех x таких, что |х|>||.
Если ряд сходится только при х=0, то R=0; если ряд сходится при х, то R=+ .
Замечание 1: Т. Абеля и ее следствие имеют место и для комплексных рядов. Замечание 2: Для рядов вида (1) интервал сходимости: ( -R; +R), а для рядов (1’) круг сходимости | - |<R
Теорема 2: Если
или
,
где 0<l<+,
то радиус сходимости
.
Доказательство: Исследуем ряд
на
абсолютную сходимость, для чего рассмотрим
ряд
.
Пусть
,
тогда
и
|x|<1/l
– область абсолютной сходимости. Если
|x|>1/l,
то ряд расходится; если |x|=1/l,
то о сходимости ряда ничего сказать
нельзя.
Для комплексных рядов доказательство дословно.
Замечание: Если
или
, то радиус сходимости равен 0. Если
или
то
радиус сходимости равен +
(сходится при всех x
или z).
24.Свойства степенных рядов:
Теорема 1: Степенной
ряд сходится абсолютно и равномерно на
-а;
а
, а>0, содержащемся в (-R;
R),
R>0.
Доказательство: 0<a<R
ряд
сходится
x
такого, что |x|<=a.
=>
сходится
абсолютно, а
сходится
равномерно на -а;
а.
Теорема 2: Сумма степенного ряда S(x)
непрерывна в каждой точке x
его интервала сходимости. Доказательство:
Точку x
можно заключить в отрезок -а;
а,
где 0<a<R.
На -а;
а
ряд
сходится
равномерно, значит
непрерывная
последовательность и S(x)=
непрерывна
на -а;
а.
Теорема 3: Если R
– радиус сходимости ряда S(x)=
(2),
то
ряд (2) можно дифференцировать почленно на (-R; R) S’=
(3)ряд (2) можно интегрировать почленно на (-R; R)
(4)степенные ряды (3) и (4) имеют тот же радиус сходимости, что и ряд (2).
Доказательство:
Рассмотрим ряд (3). Пусть радиус сходимости
равен R1.
R1=
=
R.
Для ряда (4) радиус сходимости равен R2.
R2=
=R.
Ряды (2), (3), (4) сходятся равномерно и
абсолютно на
-а;
а,
содержащемся в интервале сходимости
(по теореме 1).
Следствие 1:Степенной ряд (2) в интервале (-R; R) можно дифференцировать любое количество раз, причем радиусы сходимости полученных рядов будут равны R. Следствие 2: Степенной ряд (2) можно почленно интегрировать любое число раз на -x; x, содержащемся в интервале сходимости. Замечание: При почленном интегрировании степенного ряда радиус сходимости остается тем же, но множество сходимости может увеличиваться за счет концевых точек; при почленном дифференцировании степенного ряда множество сходимости может уменьшаться за счет концевых точек.