14. Числовые ряды. Основные понятия. Действия над рядами. Необходимое усдовие сходимости ряда.

Опр.

Пусть задана числ. послед.:(a_n )=(a₁,a₂,…,a_n,…) ,a_i R (a_i С)

Сумма a₁+ a₂+…+a_n+…= ( * ) назыв. числовым рядом.

a₁,a₂,_…a_n – члены ряда. a_n – n-ый член ряда.

Опр.

Сумма кон. числа n-ых членов ряда (*) S_n=a₁+a₂+…+a_n= назыв.n-ой частной суммой данного ряда.

Опр.

Если для последов (S) част. сумм ряда (*) сущ. кон предел S_n=S, то ряд (*) наз. сходящимся, а число S – суммой данного ряда.

S=a₁+a₂+…+a_n+…=

Если предел послед не или бесконечен, то ряд наз. расходящимся.

а_n=

сход сход, сход

Теорема 1.

Если ряд ( * ) сход., то сход. и ряд полученный из него изменением любого кон.числа членов.

Из сходимости ряда, полученного из ряда(*) изменением, вытекает сход. ряда(*) .

Док-во.

a₁+a₂+…+a_k+a_k+1+ a_n +…(*)

+ +…+ +…+ +…(~)

(*) _, (~)

_- = _- = c, c=const

₌ +c;

| | | | - cход и расх одновременно

Отбрасыв. или добавление кон. числа членов не влияет на сход. можно с некоторого места провер. на сход.

Опр.

Если у ряда a₁+ a₂+…+a_n+ a_n+1+ a_n+2 …= отбросить первых n членов, то получим ряд a_n+1+ a_n+2 …= (**) кот назыв. n–ым остатком данного ряда.

Из Т1 следует, что сход. ряда (*) равносильна сход. любого его остатка. Сумму ост. сход. ряда обозн.: r(n)=

Из сход. ряда S= = = = +r_n

S_n=S

Если , то это является и дост. условием сход ряда(*).

сход

Теорема2.

Пусть ряды и сходятся,

тогда, ряды и - сх,

причем

1)

2) ,

но не наоборот

Замечание:

Из сход сх сх и сх

Необходимое условие сходимости ряда:

Если ряд , , сх, то

Доказательство

сх =>

Замечание: это условие не является достаточным.

Следствие : если или = то расх.

,

,

( S_n) –неубыв.

Последовательность S_{n сх}

15. Интегральный признак сходимости рядов с неотр. Членами.

Теорема (критерий сходимости ряда с неотрицательными членами).

Для того, чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху.

- интегральный признак сходимости

Теорема (Коши-Маклорена)

f(x)

1. f(x)

2. f(x) _– непр.

3. f(x) монот. убывает (не возраст)

НИ-1 сх сх

Доказательство

, а_{к = f(k)} , k –натуральное число

1. Пусть сх

= (число)

сход

2) сход

(число)

сход

- эталонный ряд

Замечания – в интеграле нижний предел не обязат. брать 1

- если сход

Из (**)

- оценка остатка сходимости ряда.

16. Признаки сравнения для рядов с неотрицательными членами.

Теорема 1. (признак сравнения)

,

1. Из сход ряда сход.

2) если расход. расход

Доказательство

1. Пусть сх ,

(S_n) возр., -сходится

2)

Следствие

то верно заключение теоремы 1.

Замечание

Т1.верна, если неравенство 0<a_n <b_n выполн. с некоторого места.

Теорема 2 (предельный признак сравнения)

Пусть b_n >0_, a_n>0 , тогда

1. 0<C< , то и сход. или расход. Одновременно

2. С=0 , то сх сх.

расх расх

3. ,то расх расх

сх сх

Доказательство

1. 0<C< ,

фиксир

(использ. следствие и зам. к Т1)

2. с=0

(исп.сл. и зам. к Т1)

3) см. п.2

Замечание

1. если

2. ,