Предел суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей

     Если две последовательности {x_n} и {y_n} имеют пределы, равные соответственно a и b, то:

     а) Последовательность {x_n y_n} имеет предел равный a b, т. е.

     Это свойство распространяется на случай любого фиксированнго числа слагаемых.

     б) Последовательность {x_n y_n} имеет предел равный ab, т. е.

     Это свойство распространяется также на случай любого фиксированного числа сомножителей.

     Постоянный множитель можно выносить за знак предела при любом постоянном k.

     с) Последовательность имеет предел равный , т. е.

при условии, что все y_n не равны нулю и .

Билет 5. Если для каждого ε > 0 существует такая δ-окрестность точки a, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| > ε, то говорят, что функция f (x) имеет в точке a бесконечный предел:

Односторонние пределы

Число A₁ называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство  

Число A₂ называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство  

Предел слева обозначается предел справа – Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называют односторонними пределами. В обозначении односторонних пределов при x → 0 обычно опускают первый нуль: и .

Билет 6. Замечательные пределы

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

• Первый замечательный предел:

• Второй замечательный предел:

Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(1)

(где S_sectOKA — площадь сектора OKA)

(из : | LA | = tgx)

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

• 

• 

• 

• 

Второй замечательный предел

или

Следствия

1. 

2. 

3. 

4. 

5. для ,

6. 

Раскрытие неопределенностей

Неопределенности типа Пусть заданы две функции f (x) и g (x), такие, что В этом случае говорят, что функция имеет неопределенность типа в точке x = a. Чтобы найти предел при x = a когда функция содержит неопределенность , нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю. Примечание: В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя. Неопределенности типа Пусть две функции f (x) и g (x) обладают свойством где a является действительным числом, либо стремится к + ∞ или − ∞. Говорят, что в этом случае функция имеет в точке a неопределенность типа . Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени. Неопределенности типа Неопределенности этих типов сводятся к рассмотренным выше неопределенностям типа и .

Билет 7. Функция f (x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в этой точке, если

Функция называется непрерывной справа в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Функция называется непрерывной слева в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Определение: функция непрерывна на интервале (а, в) , если непрер. в кажд. точке этого интервала.

Определение: функция непрерывна на промежутке [а, в] ,если непрерывна на интервале (а, в) и в т. А непрерывна справа, а в т. В- слева.

Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке

Функция y = f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда

lim Δx → 0 Δy = 0.

предел приращения этой функции = 0 ,при Δx → 0

Непрерывность суммы, произведения и частного двух непрерывных функций

Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то в этой точке непрерывны

f(x) ± g(x),     f(x) · g(x),       f(x) g(x)     (g(x0) ≠ 0).

Непрерывность сложной функции

Теорема 2. Если функция u(x) непрерывна в точке х0, а функция f(u) непрерывна в соответствующей точке u0 = f(x0), то сложная функция f(u(x)) непрерывна в точке х0.

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке их областей определения.

Билет 9. Свойства непрер. функций

1. Теорема Вейерштрасса: Если функция опред. и непрер. на отрезке [а, в] ,то она ограничена и достигает своего наим. и наиб. Значения на этом отрезке.

2. Теорема Больцано-Коши: Если функция опред. и непрер. на отрезке [а, в] и на его концах принимает значения противоположных знаков, то на интервале (а, в) найдется хоть одна точка С, в которой функция будет = 0.

3. Теорема(3) тоже Больцано-Коши: Если функция опред. и непрер. на [а, в] ,а m и M- наим. и наиб. значения на этом отрезке,то для любой точки С из отрезка [m, M] найдется хотя бы одна точка Сна отрезке [а, в] такая, что выполняется равенство:f(c)=C

Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

• Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;

• Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

• Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

• Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Билет 10.