Свойства неопределенного интеграла

1°. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

2°. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

3°. Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то

4° . Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности.

Независимость вида н.и. от выбора аргумента (инвариантность формы интеграла): где имеет непрерывную производную. Действительно, по свойству инвариантности формы дифференциала:

Частным случаем 5° является = F(ax + b) + с.

Очевидно, учитывая, что d(ax + b) = a dx, получаем формулу

Таблица основных интегралов

Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

Билет 26. Интегрирование подстановкой (замена переменной). Если функция  f ( z ) определена и имеет первообразную при  z Z ,  а  функция  z = g ( x ) имеет непрерывную производную при  x X  и её область значений  g ( X ) Z , то функция  F ( x ) =  f  [ g ( x )]  g' ( x ) имеет первообразную на  Х  и

F ( x ) dx = f [ g ( x )] • g' ( x ) dx = f ( z ) dz .

Интегрирование по частям. Если функции  u ( x )  и  v ( x ) имеют непрерывные первые производные и существует интеграл v ( x ) du ( x ), то существует и интеграл u ( x ) dv ( x ) и имеет место равенство:

u ( x ) dv ( x ) = u ( x ) • v ( x ) – v ( x ) du ( x )

или в более короткой форме:

u dv = u v – v du .

 

Обратите внимание, что интегрирование по частям и дифференциал произведения являются взаимно обратными операциями (проверьте!).

Билет 27. Вычисление площадей

Рассмотрим криволинейную трапецию, т.е. фигуру, образованную осью , прямыми , и кривой .

Требуется найти площадь данной криволинейной трапеции. Покажем, что эта задача эквивалентна нахождению определенного интеграла.

Разобъем отрезок на частей точками

Получаем, что отрезок есть объединение полуинтервалов открытых слева , и отрезка , т.е.

(эти полуинтервалы и отрезок будем называть множествами).

Возьмем из каждого множества произвольную точку и составим следующую сумму:

где -- длина (мера) множества (полуинтервала).

Величина -- это сумма площадей прямоугольников со сторонами и , . При стремлении к нулю сумма будет стремиться к значению определенного интеграла

Получаем, что площадь криволинейной трапеции есть

Рассмотрим случай задания кривой параметрическим образом, т.е.

где параметр . Тогда площадь вычисляется через определенный интеграл:

Аналогично можно рассмотреть случай, когда криволинейная трапеция прилежит к оси , т.е. криволинейная трапеция ограничена линиями , , осью и кривой . В этом случае площадь вычисляется через интеграл:

Определение: Фигура на плоскости, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной функции, вертикальными прямыми х=а, х=в и осью абсцисс назыв. криволинейной трапецией.

Определенный интеграл-это число, зависящее от промежутка интег-ния [а, в] ,подынтегральной функции f(u) и не зависящее от переменной интег-ния.

  Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x) (см. рис. 5.).

     Не следует думать, что условие непрерывности функции необходимо для того, чтобы у нее существовал определенный интеграл. Интеграл может существовать и у разрывной функции. Пусть, например, функция f(x), заданная на промежутке [a, b], равна нулю во всех точках этого промежутка, кроме конечного числа точек z₁, z₂, ..., z_N. Составим для f(x) интегральную сумму σ.

     Пусть из точек ξ₀, ξ₁, ..., ξ_n-1, входящих в определение σ, p точек совпадают с точками z_i, а остальные отличны от них. Тогда в сумме σ будет лишь p слагаемых, отличных от нуля. Если наибольшее из чисел | f(z_i) | (i = 1, 2, ..., N) есть K, то, очевидно,

| σ | ≤ Kpλ ≤ KNλ,

откуда ясно, что при λ → 0 будет и σ → 0. Таким образом, интеграл

существует и равен нулю.

     Приведем теперь пример функции, не имеющей интеграла. Пусть φ(x) задана на промежутке [0, 1] так:

Если мы, составляя сумму σ, за точки ξ_k выберем числа иррациональные, то окажется σ = 0. Если же все ξ_k взять рациональными, то получится σ = 1. Таким образом, за счет одного лишь уменьшения λ нельзя приблизить σ к какому-либо постоянному числу, и интеграл

не существует.