Производные и интегралы элементарных функций

Функция Производная Первообразная Константа: C 0 Cx + C1 Тригонометрические функции: sin x cos x –cos x + C cos x –sin x sin x + C tg x ctg x Обратные тригонометрические функции: arcsin x arccos x arctg x arcctg x Степенная, показательная и логарифмическая функции: ex ex ex + C ax ax ln a loga x ln x x ln x – x + C xα, α ≠ –1 Гиперболические функции: sh x ch x ch x + C ch x sh x sh x + C th x cth x

Таблица R.1.9.1.

Теорема о производной сложной функции:

Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).

Теорема о произв. обратной функции.

Дифференцирование сложных ф-ций:

Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

y`=f(x)*U`,или yx`=yU`*Ux`, или dy/dx=dy/dU=dU/dx

Например:

Инвариантность формы записи дифф-ла-не известно!

Билет 16.Дифференциал функции- главная линейная относительно Δx часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной.

Теорема: Функция не может иметь 2х различных дифф-лов.

Свойства дифференциалов

Выражение производной через дифференциалы: где индекс "х" при y' показывает, что производная берется по аргументу х. В то же время дифференциалы dy и dx можно брать по любому аргументу.

Выражение дифференциала через производную: Используя его, можно записать свойства дифференциалов, используя свойства производной.

1. Постоянный множитель можно вынести за знак дифференциала:

2. дифференциал алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций

3. дифференциал произведения

4. дифференциал дроби (дифференциал частного)

5. дифференциал сложной функции где d g(x), в свою очередь, можно дифференцировать дальше.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Дифференциал функции f(x) в точке x₀ равен приращению, которое получает ордината касательной к кривой y = f(x) с абсциссой в точке x₀ при переходе из точки касания в точку с абсциссой x₀+Δx.