Билет 20. Определение экстремума

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x₁< x₂ выполняется неравенство (f(x₁) < f (x₂) (f(x₁) > f(x₂)).

Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ^'(x)  0

(f ^' (x)  0).

Точка x_о называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки x_о, для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(x_о) (f(x) ≥ f(x_о)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Точки экстремума

Необходимые условия экстремума. Если точка x_о является точкой экстремума функции f(x), то либо f ^'(x_о) = 0, либо f (x_о) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть x_о - критическая точка. Если f ^' (x) при переходе через точку x_о меняет знак плюс на минус, то в точке x_о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x_о экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f ^' (x) в окрестности точки x_о и вторую производную  в самой точке x_о. Если f ^' (x_о) = 0, >0 ( <0), то точка x_о является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

Билет21. Функция  f ( x ) называется  выпуклой  на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит  ниже  касательной, проведенной к кривой  y = f ( x ) в любой точке ( x₀ ,  f ( x₀ ) ),  x₀ ( a, b ).

Функция  f ( x ) называется  вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит  выше  касательной, проведенной к кривой  y = f ( x ) в любой точке ( x₀ ,  f ( x₀ ) ),  x₀ ( a, b ).

Точка перегиба

О: Точкой перегиба графика функции называется точка, в которой меняется направление выпуклости графика (рис. 10.11).

Рис. 10.11

Очевидно, что касательная в точке перегиба, если она существует, пересекает график. Т: (необходимый признак т.п.) Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в окрестности т. и в т. имеет точку перегиба. Тогда

Предположим противное, т.е. что для определенности В силу непрерывности знак сохраняется всюду в окрестности т. т.е. по достаточному признаку выпуклости, вогнутости график вогнутый в окрестности т. Полученное противоречие с условием теоремы доказывает, что

Условие = 0 не является достаточным. Например, для функции вторая производная при х = 0, но в данной точке функция имеет min, а не перегиб (рис. 10.12). Если

то т.( может являться т.п. Например, для вторая производная

при х= 0, до т.(0, 0) при х > 0 график по достаточному признаку выпуклости, вогнутости является выпуклым, после т. (0, 0) при х < 0 — вогнутым, т.е. т. (0, 0) — точка перегиба (рис. 10.13).

Рис. 10.12

Рис. 10.13

Точку в которой назовем подозрительной на перегиб.

Т: (достаточный признак т.п.) Пусть и — подозри-

тельная на перегиб. Если при переходе через т. производная меняет знак на противоположный, то — точка перегиба

Пусть для определенности > 0 при х < < 0

при х > Тогда по достаточному признаку выпуклости, вогнутости график вогнутый до т. а после нее — выпуклый, т.е. при х = перегиб

 

Билет 22.Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:

если  f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция  f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );

если  f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция  f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .

 

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба  x₀  существует вторая производная  f '' ( x₀ ), то  f '' ( x₀ ) = 0.

Билет 23.

Необходимое условие существования точек перегиба

Если точка Хо явл. точкой перегиба графика дважды дифференцируемой функции, то в этой точке вторая произв.=0.

Достаточный признак: Если производная дважды диффер-мой функции в некоторой точке= 0 и при переходе через нее вторая производная меняет знак, то данная точка явл. точкой перегиба.