6.10 Метод начальных параметров

Для решения дифференциального уравнения (6.8) воспользуемся методом начальных параметров.

Рассмотрим балку, нагруженную взаимоуравновешенной системой нагрузок, рис. 6.18.

Рис. 6.18

Будем рассматривать все участки балки в единой системе координат, помещая начало в крайнее левое, либо в крайнее правое сечение. Рассмотрим особенности, вносимые в уравнение упругой линии различными видами внешних нагрузок. Уравнения моментов по участкам будут следующими

1.

2.

3.

4.

5.

Заметим, что все моменты в 1-5 положительны.

В целях формализации процедуры интегрирования уравнения моментов по участкам имеют следующие особенности:

а) слагаемые, содержащие сосредоточенный момент m, умножены на , где - координата приложения m;

б) все распределенные нагрузки (в примере это нагрузка, приложенная в сечении и снятая в сечении ) продлеваются до конца балки;

в) в сечениях, где распределенная нагрузка отсутствует, но есть продленная, прикладывается компенсирующая нагрузка.

Уравнения моментов по участкам можно объединить в универсальное уравнение момента

(6.9)

Вертикальная черта и условие указывает на равенство нулю соответствующего слагаемого в случае, когда неравенство не выполнено. Например, первое слагаемое отсутствует в , если . Интегрирование (6.9) дает универсальное уравнение углов поворота

. (6.10)

Повторное интегрирование дает универсальное уравнение прогибов

. (6.11)

Применение универсального уравнения позволяет значительно упростить решение, особенно для балок с несколькими участками.

Правила проверки правильности построения изогнутой оси балки основаны на связи изгибающего момента и кривизны балки

,

где ρ – радиус кривизны в сечении:

1) на участке, где изгибающий момент положителен, ось балки изогнута выпуклостью вниз;

2) на участке, где изгибающий момент отрицателен, ось балки изогнута выпуклостью вверх;

3) на участке, где M = 0, ось балки прямая линия;

4) в сечении где M = 0, у изогнутой оси балки – точка перегиба.

6.11 Условие жесткости при изгибе

Во многих случаях по эксплуатационным соображениям максимальные прогибы балок ограничиваются определенной величиной – допускаемым прогибом [y]. Тогда условие жесткости будет иметь вид:

.

Величина допускаемого прогиба зависит от назначения сооружения или механизма. Например, для подкрановых балок принимают

,

где l – пролет балки. В машиностроении норма допускаемого прогиба колеблется в зависимости от назначения детали

.

Лекция 7. Теория напряженного состояния

7.1 Исследование напряженного состояния при растяжении

Совокупность напряжений, действующих в рассматриваемой точке нагруженного тела, характеризует напряженное состояние в точке. Анализ напряженного состояния начнем с определения напряжений на наклонных площадках при растяжении сжатии.

(а) (б) (в)

Рис. 7.1

Рассмотрим стержень нагруженный силами P, действующими вдоль его оси. Стержень работает на растяжение. Напряжение в поперечном сечении I-I (рис.7.1,а) определяют по известному соотношению

(7.1)

Здесь A – площадь поперечного сечения.

Рассмотрим сечение II-II, выполненное под углом к поперечному. Внутреннее усилие F, уравновешивающее нагрузку P, разложим на составляющие . Площадь наклонного сечения

. (7.2)

Каждое из полученных усилий вызывает соответствующее напряжение:

, (7.3)

. (7.4)

Изменяя угол наклона сечения можно получить полное представление о напряженном состоянии при растяжении.

На площадках поперечного и продольного сечений касательные напряжения отсутствуют, а нормальные напряжения достигают экстремальных значений . Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называют главными. Нормальные напряжения, действующие на этих площадках, называют главными напряжениями.

а) б) в)

Рис. 7.2

Анализируя напряженное состояние в точке, рассмотрим бесконечно малый элемент, высеченный поперечными и продольными сечениями, и покажем напряжения, действующие по граням этого элемента (рис. 7.2,а). Такое напряженное состояние называют линейным.

На рис. 7.2,б изображено плоское напряженное состояние. Такое напряженное состояние имеет место в стенке воздушного шарика. Под действием внутреннего давления стенка шарика растягивается в меридиональном и тангенциальном направлениях( рис. 7.3)

Рис 7.3

В условиях плоского напряженного состояния работают нефтеналивные емкости, трубопроводы, котлы низкого давления.

Главные напряжения принято обозначать . При плоском напряженном состоянии , при линейном , .

Напряженное состояние называют объемным или трехосным в том случае, когда все три главных напряжения не равны нулю (рис. 7.2,в). В таких условиях находится материал в месте контакта колеса и рельса. Объемное напряженное состояние имеет место в стенке толстостенных сосудов, котлов высокого давления.