8.3 Колебания упругих систем

Теория колебаний – раздел физики, охватывающий механику, электро-, радиотехнику, оптику.

Особое значение теория колебаний имеет для прикладных задач прочности. Известно, что сооружения, рассчитанные с большим запасом на статическую прочность, разрушались от небольших периодически действующих сил.

Колебания различают по числу степеней свободы.

Число степеней свободы – это число независимых координат, определяющих положение системы.

На рис. 8.3, а приведена система с одной степенью свободы – координата ξ; на рис. 8.3, б – система с тремя степенями свободы (две координаты центра тяжести тела с массой m и угол поворота).

(а) (б)

Рис. 8.3

Число степеней свободы определяется выбором расчетной схемы, то есть степенью приближения, с которой мы считаем возможным исследовать реальный объект.

Различают собственные (свободные) и вынужденные колебания.

Собственные колебания – это колебания, совершаемые системой, освобожденной от внешних воздействий.

Вынужденные колебания – колебания, совершаемые под действием изменяющихся со временем внешних сил.

Период T собственных или вынужденных колебаний – промежуток времени между двумя смежными максимальными отклонениями от положения равновесия.

Частота колебаний ν – величина, обратная периоду.

Круговая частота (число колебаний за 2π секунд)

8.4 Собственные колебания без затухания

Динамическую модель упругой системы с одной степенью свободы представим в виде пружины с телом массой m на конце. В дальнейшем тело рассматривается как точечная масса. Степенью свободы является перемещение ξ, которое отсчитывается от ненапряженного состояния пружины.

Рис. 8.4

Исходя из принципа Даламбера, будем включать в уравнение статики силу инерции, направленную против перемещения и равную

где , .

Перемещение ξ можно представить

где - перемещение от единичной силы. Отсюда получаем дифференциальное уравнение свободных колебаний:

. (8.5)

Решение (8.5) имеет вид

, (8.6)

где С₁, С₂, А, φ – константы, определяемые из начальных условий при t = 0; А – амплитуда колебаний, φ – начальная фаза. График решения (8.6) имеет вид (рис. 8.5):

Рис. 8.5

8.5 Собственные колебания с затуханием

В предыдущем примере предполагалось, что собственные колебания происходят без рассеяния энергии (при отсутствии сил сопротивления), поэтому они могут длиться бесконечно долго. В реальных процессах всегда имеются внешние силы, уменьшающие амплитуду колебаний.

Добавим силу сопротивлении к динамической модели упругой системы с одной степенью свободы, рис. 8.6.