22. Дивергенция вектора а (вектора скорости V и вектора вихря rot V). Соленоидальное поле вектора а (вектора скорости V и вектора вихря rot V ) и его свойства.

23. Теорема Гаусса-Остроградского для потока вектора а (вектора скорости v и вектора вихря rot v ). Ее следствия для случая div а - 0 (div v = 0 и div rot v = 0 ). Первая теоре­ма Гельмгольца о вихрях.

24. Интеграл вектора а (вектора скорости v и вектора вихря rot v) вдоль незамкну­той и замкнутой линии. Циркуляция вектора а (вектора скорости v и вектора вихря rot v). Предельная циркуляция вектора а (вектора скорости v и вектора вихря rot v ). Теорема Стокса и ее следствие для невихревого поля.

25. Две задачи вихревого течения. Формула Био-Савара.

Элементы кинематики вихревого движения жидкости

Поступательному движению жидкости часто сопутствует вихревое движение, вы­званное вращением элементарного объёма жидкости вокруг некоторой оси Такое враще­ние жидкости называется вихрем; угловая скорость этого элементарного объёма является основной характеристикой вихря Касательная в любой точке вектора вихря - вихревая линия Поверхность образованная вихревыми линиями, проведенными через точки замк­нутого контура, называется вихревой трубкой Прямолинейную вихревую трубку с беско­нечно малой площадью сечения можно рассматривать как вращающийся твердый ци­линдр, окружная скорость которого пропорциональна радиусу. Кинематической характе­ристикой вихревого течения жидкости является циркуляция скорости, которая служит ме­рой завихренности.

5

где: Г - циркуляция вектора скорости,

ui- проекция вектора скорости на касательную к этому контуру в i-той точке

В тех случаях, когда вращение жидкости в определённых точках пространства про­исходит с постоянной скоростью и положение вихря с течением времени не меняется, то такое вихревое движение принято называть стационарным вихрем В иных случаях вихре­вое движение следует считать не стационарным.

26. Функция тока плоского течения. Гидродинамическая сетка.

27. Комплексный потенциал и комплексная скорость. Контурный интеграл от ком­плексной скорости.

28. Скорость, потенциал скорости, функция тока, линии тока и/эквипотенциальные линии плоского однородного поступательного потока.

29. Скорость, потенциал скорости, функция тока, линии тока и эквипотенциальные линии плоского источника (стока).

30. Скорость, потенциал скорости, функция тока, линии тока и эквипотенциальные линии плоского циркуляционного потока.

31. Скорость, потенциал скорости, функция тока, линии тока и эквипотенциальные линии плоского диполя.

32. Скорость, потенциал скорости, функция тока и линии тока при обтекании кругово­го цилиндра с циркуляцией. Характерные случаи обтекания в зависимости от величины цир­куляции.

33. Уравнение неразрывности в дифференциальной и интегральной форме. Его физи­ческий смысл. Уравнение расхода.

Уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости

При течении газов, особенно при больших скоростях, их плотность может заметно, а то и значительно, меняться во времени и в пространстве. Ясно, что объем втекающей жидкости может не быть равным объему вытекающей жидкости через поверхность кубика, изображенного на рис. 3.11. Если такого равенства нет, то масса газа внутри кубика (а с ней и плотность) будут со временем меняться. Уравнение (3.24) в этом случае становится несправедливым. Однако и здесь можно записать уравнение неразрывности, основная идея вывода которого базируется на балансе массы газа, составляющего физическую суть равенства (3.1). Поток массы газа через площадку dS будет равен . Тогда полный поток массы газа через боковую поверхность элемента объема dxdydz, аналогично (3.27), равен

(3.32)

где - новое векторное поле. Если этот поток положительный, то масса внутри элемента будет убывать за счет уменьшения во времени плотности . Поэтому, записывая условие баланса массы в виде

(3.33)

мы получаем (после сокращения на dxdydz) одно из фундаментальных уравнений гидродинамики - уравнение неразрывности сжимаемой жидкости:

(3.34)

Следует отметить, что при =const это уравнение переходит в (3.24).

Рис. 3.11.

В электродинамике это уравнение является также фундаментальным. В самом деле, если речь идет о движущихся зарядах, объемная плотность которых равна , то уравнение (3.34) является математическим выражением универсального закона сохранения заряда.

Расходом называется количество жидкости, протекающее через живое сечение потока (струйки) в единицу времени. Количество жидкости можно задать объемом, массой или весом. Соответственно и расходы бывают объемный Q, массовый Q_m и весовой Q_G.

Для элементарной струйки, имеющей бесконечно малые площади живых сечений, можно считать скорость жидкости в любой точке сечения одинаковой. Тогда

dQ = V dS; dQ_m= dQ = V dS; dQ_G= g dQ_m= gV dS,

где dS – площадь живого сечения струйки.

Для потока конечных размеров скорость в различных точках сечения будет различной, поэтому расход следует определять как сумму элементарных расходов струек

Но это чисто теоретическая формула, воспользоваться ей для определения расхода проблематично. Обычно вводят в рассмотрение среднюю по сечению скорость потока, которую можно найти по измерянному расходу

, откуда Q = V_cpS.

Основываясь на законе сохранения вещества, на предположении о неразрывности (сплошности) потока и на свойстве непроницаемости трубки тока, для стационарного течения несжимаемой жидкости можно утверждать, что объемный расход во всех сечениях элементарной струйки один и тот же:

dQ = V₁ dS₁ = V₂ dS₂ = const (вдоль струйки).

Это уравнение объемного расхода для элементарной струйки.

Аналогичное уравнение можно записать и для потока конечных размеров, ограниченного непроницаемыми стенками, только скорости следует брать средние

Q = V_ср1 S₁ = V_сp2 S₂ = const (вдоль потока).

Из последнего уравнения следует, что средние скорости в потоке несжимаемой жидкости обратно пропорциональны площадям живых сечений:

Уравнение расхода – это частный случай закона сохранения вещества для условий неразрывности потока.

34. Напряженное состояние движущейся идеальной жидкости. Адиабатичность тече­ния идеальной жидкости.