12. Сила давления жидкости на плоскую стенку. Центр давления. Гидростатический парадокс. Сила давления жидкости на плоскую стенку

Рассмотрим вопрос о силе давления жидкости на плоскую стенку площадью S, расположенную под произвольным углом  к горизонту и ограниченную произвольным контуром (Рис.13). Как известно, сила характеризуется тремя параметрами:

– направлением:

– величиной;

– точкой приложения.

Рис. 13. Схема для определения силы давления жидкости

на плоскую стенку

Давление в каждой точке стенки направлено по нормали к ней, следовательно, и равнодействующая сила давления будет перпендикулярна плоской стенке.

Ось 0x направим по линии пересечения стенки со свободной поверхностью жидкости, а ось 0y – перпендикулярно к этой линии в плоскости стенки.

Вычислим элементарную силу давления, приложенную к бесконечно малой площадке dS:

,

где p₀ – давление на свободную поверхность;

h – глубина расположения площадки dS.

Для получения полной силы давления F проинтегрируем полученное выражение по всей площади S:

.

Полученный интеграл представляет собой статический момент площади S относительно оси 0x и равен произведению этой площади на координату ее центра масс (точка С), то есть

.

Следовательно,

,

где h_C, p_C – глубина расположения центра масс площадки и давление в этой точке.

Таким образом, полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление p_C в центре масс этой площади.

Силу давления F можно представить как сумму двух сил: F₀ от внешнего давления p₀ и силы F_ж от веса жидкости, то есть

F = F₀ + F_ж = (p₀ + p_C)S.

Если давление p₀ равно атмосферному и действует также с обратной стороны стенки, то сила избыточного давления жидкости на плоскую стенку

F_изб = F_ж = gh_CS = p_{C изб} S.

Наиболее сложным является вопрос о точке приложения силы давления на плоскую стенку. Сила F₀ будет приложена в центре масс плоской стенки C, так как давление p₀ действует на все точки стенки одинаково. Точка приложения силы F_ж отыскивается путем составления уравнения моментов равнодействующей и составляющих сил относительно горизонтальной оси, например, совпадающей с линией пересечения стенки со свободной поверхностью:

.

Выразим координату точки приложения силы y_D и подставим значения сил F_ж и dF_ж:

,

где – момент инерции площади S относительно оси 0x.

Учитывая, что

где J_x0 – момент инерции площади S относительно горизонтальной оси, лежащей в плоскости стенки и проходящей через ее центр масс.

Отсюда, точка приложения силы F_ж имеет координату

Если давление p₀ равно атмосферному, центр давления будет находиться в точке D. Как видно из формулы, y_D лежит ниже центра масс площади S. Если внешнее давление p₀ > p_атм, то равнодействующая будет приложена выше т. D и наоборот. Точное ее место приложения вычисляют из уравнения моментов.

17.Сила давления жидкости на криволинейную (цилиндрическую) стенку. Закон Ар­химеда. Сила давления жидкости на криволинейные стенки. Плавание тел

Если поверхность имеет произвольную форму, то требуется находить 3 составляющих силы и 3 момента. Чаще рассматривают цилиндрические и сферические поверхности, имеющие вертикальную плоскость симметрии. Возьмем цилиндрическую поверхность (Рис. 14) с образующей, перпендикулярной плоскости рисунка и определим силу давления на эту поверхность в двух случаях:

– жидкость расположена сверху;

– жидкость расположена снизу.

На рисунке показана реакция стенки на жидкость, которая, как известно, равна силе давления жидкости на стенку (по третьему закону Ньютона). Рассмотрим условия равновесия объема жидкости ABDE, лежащей строго над интересующей нас криволинейной поверхностью. Условие равновесия в вертикальном направлении

F_в = p₀S_г +G,

где S_г – горизонтальная проекция стенки;

G – вес жидкости в объеме ABDE.

Условие равновесия в горизонтальном направлении запишем с учетом того, что силы давления на площадки CD и AE равны:

Рис. 14. Схема для определения силы давления жидкости

на цилиндрическую поверхность

F_г = (p₀ + gh_C)S_в.

По вычисленным составляющим F_г и F_в найдем величину силы давления жидкости на стенку

Направление силы давления на стенку определяет угол 

Для нахождения центра давления на цилиндрической стенке необходимо дополнительно определить положение центра масс объема ABDE, положение центра давления на вертикальную проекцию стенки. Центр давления находится из уравнения моментов. Если цилиндрическая поверхность круговая, то задача значительно упрощается, так как в этом случае равнодействующая силы давления жидкости на стенку проходит через ось цилиндрической поверхности. Дело в том, что в каждой точке поверхности давление направлено по нормали к стенке, то есть по радиусу и, таким образом, не создает момента относительно оси, проходящей через центр вращения. Тогда и равнодействующая сила не должна создавать момента относительно той же оси, то есть должна проходить через центр вращения.

В случае, когда жидкость находится ниже стенки, давления в каждой точке будут иметь те же значения, что и в первом случае, но направлены противоположно. Следовательно, определять силу давления на криволинейную стенку можно точно так же, но направлена она будет в противоположном направлении. Следует обратить внимание на то, что при определении вертикальной составляющей силы все равно надо вычислять вес жидкости в объеме ABDE, хотя на самом деле жидкости там нет.

Примененный сейчас прием определения вертикальной составляющей силы давления применим и для вывода закона Архимеда (Рис. 15).

Рис. 15. Схема для доказательства закона Архимеда

Пусть в жидкость погружено тело произвольной формы объемом W. Возьмем проекцию этого тела на свободную поверхность жидкости и проведем вдоль полученной линии цилиндрическую поверхность с вертикальной образующей. Эта поверхность будет касаться тела по замкнутой линии, делящей поверхность тела на верхнюю и нижнюю части.

Найдем вертикальные составляющие силы давления жидкости на верхнюю и нижнюю части поверхности тела. Они будут равны весам жидкости соответственно в объемах ACBB’A’ и ADBB’A’. Обозначим их F_в1 и F_в2. Равнодействующая этих двух сил будет равна их разности, то есть весу жидкости в объеме тела, и направлена вверх.

F_a = F_в2 – F_в1 = gW.

Равнодействующая всех горизонтальных составляющих сил давления всегда равна 0, так как вертикальные проекции левой и правой, передней и задней частей тела всегда попарно равны, и противоположно направленные горизонтальные составляющие силы давления друг друга уравновешивают. Этот вывод можно получить и, не анализируя в тонкостях горизонтальные составляющие силы давления. Ведь если бы горизонтальная составляющая силы давления не была бы равна 0, то тело под ее действием поплыло бы в неподвижной жидкости, причем не затрачивая энергии. Это означало бы нарушение закона сохранения энергии.

Таким образом, мы доказали закон Архимеда, который гласит: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх, численно равная весу жидкости, вытесненной телом, и приложенная в центре масс объема погруженной части тела (центре водоизмещения).

Следует отметить, что центр масс тела и центр масс объема тела в общем случае не совпадают. Они совпадают только в случае, когда тело имеет равномерную плотность.

Если сила поддержания (архимедова) меньше веса тела, то оно тонет. Если больше, то тело всплывает на поверхность. Если равна, то тело плавает в толще жидкости.

Для равновесия плавающего тела необходимо, чтобы центр масс и центр водоизмещения лежали на одной вертикальной прямой. Если центр масс лежит ниже центра водоизмещения, то равновесие устойчивое, если выше, то – неустойчивое.