9.Приведение сил к данному центру (теорема Пуансо)
Рассмотрев задачу о приведении произвольной системы сил к данному центру, т.е. о замене данной системы сил другой, ей эквивалентной, но значительно более простой - состоящей только из одной силы и момента. Эта задача дается теоремой о приведении системы сил – теоремой Пуансо:
Теорема: Произвольную
систему сил, действующую на ТТ, можно
заменить эквивалентной системой,
состоящей из одной силы
и пары сил с моментом
.
Сила
равна главному вектору системы сил и
приложена в произвольно выбранной точке
(центра приведения), момент пары
равен главному моменту системы сил
относительно этой точки. Главным
вектором
системы сил называется геометрическая
сумма всех сил системы.
(8.1)
(8.1’)
Значение R от выбора центра не зависит.
Главным моментом системы сил относительного данного центра называется смма моментов всех сил системы относительно этого центра:
(8.2)
Главный момент определяется своими проекциями на оси координат:
,
,
.
(8.2’)
Или с учетом определения момента силы относительно оси:
,
,
.
(8.3)
(8.3’) Значение
зависит
от центра.
Доказательство:
Точка
О – центр приведения. По лемме Пуансо
перенесем силу
в точке О:
,
.
Аналогично перенесем все силы:
,
,
.
В результате получим систему сходящихся
сил и систему пар сил. По теореме о
существовании равнодействующей системы
сходящихся сил их можно заменить одной
силой
,
равной главному вектору. Систему пар
по теореме о сложении пар можно заменить
одной парой, момент которой равен
главному моменту
что и требовалось доказать.
10.Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона)
Теорема:| Если система сил имеет равнодействующую, то её момент относительно любого центра (или оси) равен сумме моментов всех сил системы относительно того же центра (или оси).
(Момент равнодействующей равен сумме моментов её составляющих относительно оси или центра)
Доказательство:
~
(.)
O1
– точка на линии действия равнодействующей.
Как было доказано:
но
.
(9.5)
В проекции на ось, проходящую через центр О,
.
ч.т.д.
11.Условия равновесия системы сил
1)Условия равновесия произвольной пространственной системы сил:
Из основной теоремы статики вытекает условие равновесия произвольной системы сил.
Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы равнялись нулю:
(8.4)
В аналитической форме:
Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на три координатные оси и суммы моментов всех сил относительно этих осей были равны нулю.
,
,
,
,
,
.
(8.5)
Условия равновесия могут быть использованы для решения задач на равновесие при определении неизвестных величин (реакций связей). Число неизвестных не должно превышать шести.
2)Условия равновесия системы параллельных сил:
Для системы параллельных сил условиями равновесия являются равенства:
;
;
.
(8.6)
3) Условия равновесия произвольной плоскости системы сил :
Плоская система сил – это такая система, все силы которой лежат в одной плоскости.
В этом случае в результате приведения получим силу и пару, лежащие в одной плоскости. Главный вектор плоской системы сил определяется его проекциями на две координатные оси, а главный момент является скаляром и находится как алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно выбранного центра приведения.
Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы равнялись нулю:
,
,
.
(8.7)
Условия равновесия плоской системы сил могут быть записаны в следующих эквивалентных формах:
,
,
.
(8.8)
(отрезок АВ не перпендикулярен оси OX)
,
,
.
(8.9)
(точки A,B,C не лежат на одной прямой).