12.Момент силы относительно оси

Для характеристики вращательного действия силы на тело, закрепленное на оси, служит момент силы относительно оси – алгебраическая величина, равная проекции вектора момента силы относительно произвольной точки оси на эту ось:

(7.3)

Способы вычисления момента силы относительно оси 1)Аналитический: по правилу векторного произведения:

откуда:

(7.4)

2)Геометрический:

Провести плоскость , перпендикулярную данной оси , спроектировать силу на эту плоскость и вычислить момент проекции относительно точки О – точки пересечения оси Z с плоскостью . Момент положителен, если глядя с положительного направления оси вращения видно происходящим против хода часовой стрелки. Момент силы относительно оси равен нулю, если сила паралельна оси или линия действия силы пересекает ось. При вычислении момента силы ее бывает удобно предварительно разлодить на составляющие и находить момент каждой составляющей отдельно.

13.Вычисление главного вектора и главного момента сил

Главным вектором системы сил называется геометрическая сумма всех сил системы.

(8.1) (8.1’)

Значение R от выбора центра не зависит.

Главным моментом системы сил относительного данного центра называется смма моментов всех сил системы относительно этого центра:

(8.2)

Главный момент определяется своими проекциями на оси координат:

, . (8.2’)

Или с учетом определения момента силы относительно оси:

, , . (8.3)

(8.3’) Значение зависит от центра.

Динамика

1.Основные понятия и законы динамики: В основании динамики лежат установленные законы.

Закон инерции: материальная точка сохраняет равномерное и прямолинейное движение или находится в состоянии покоя до тех пор, пока на нее не подействует сила. Закон пропорциональности силы и ускорения: сила, действующая на материальную точку, сообщает ускорение, которое пропорционально силе и направлено в сторону действия силы.F=ma– основное уравнение динамики, где m – масса точки, являющейся мерой ее инертности.

Закон равенства действия и противодействия: 2тела действуют друг на друга с силами, равными по величине и направленными в противоположе стороны.Закон независимости действия сил: материальная точка при действии на ее системы сил приобретает ускорение, равное сумме ускорений, возникающих от действия каждой силы в отдельности.

. Системы отсчета, в которой выполняются первый и второй законы динамики, называются инерциальной системой отсчета.

2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Задачи динамики точки: 1-Опред сил, действующих на матер-ю точку, если известна масса точки и закон ее движ-я.2-Опред закона движ-я матер-ой точки при известной массе и силах,действ-х на точку., Воспользуемся основным уравнением динамики Из закона независимости действия сил: В общем случае силы, действующие на точку, являются переменными, тогда в проекциях на оси декартовой системе координат можнозаписать: (12.3) Уравнение (12.3) содержит производные координат, и образуют систему диф уравнений движения математической точки. Общее решение этих уравнений содержит шесть произвольных постоянных: (12.4) Произвольные константы , i =1,….,6, находится из начальных условий (12.5)

Если точка движется по известной траектории, то основное уравнение динамики удобно записать в проекциях на оси естественной системы координат. Тогда:

Правые части этих уравнений содержат неизвестные силы реакции связей, так как, движется точка несвободна. Исследование такого движения предлагает одновременное решение первой и второй задач динамики при следующих начальных условиях

3 .Механическая система. Внешние и внутренние силы: МС– это совокупность материальных точек или тел,взаимодействующих между собой. Если между точками (телами) механической системы действуют силы взаимодействия, то положение и движение каждой точки (тела) зависит от положения и движения остальных. Внеш-действующие на точки системы со стороны других систем, то есть извне. Внутр-силы взаимод-я между точками одной и той же системы. Свойство внутренних сил: Главный вектор и главный момент внутренних сил механической системы равен нулю, так как это взаимодействия между точками системы, которые входят попарно

Из доказанных свойств не следует, что внутренние силы взаимно уравновешиваются и не влияют на движение системы, так как эти силы приложены к разным математическим точкам и могут вызывать взаимные перемещения этих точек. Деление сил на внешние и внутренние является условным и зависит от постановки задач. Одна и то же сила может рассматриваться в одних задачах как внешняя, а в других как внутренняя.

4. Масса системы. Центр масс: Масса МС = сумме масс всех точек системы: Распределение масс в системе определяется значениями масс ее точек и их координатами При решении задач динамика для учета распределения масс достаточно знать не все величины системы а некоторые, выражен-е через них суммарные характер-ки. Или являются: координаты центры масс системы, осевые моменты инерции, центробежные моменты инерции. Рассмотрим МС, состоящую из математических точек положение точек системы задается радиус – векторами Центром масс -геометрическая точка c, радиус – вектор которой определяется выражением: В скаляр-м виде:

Центр масс, прежде всего, характеризует распределение масс в механической системе и сохраняет свое значение в любых системах, независимо от наличия или отсутствия сил, в т. ч. и сил тяжести.Если механическая система представляет собой сплошное тело, то его разбивают на элементарные частицы с массами dm = ρdv. Суммы в пределе переходят в интегралы, и центр масс определяется выражением: ,

ρ – плотность материала.

5.Теорема о движении центра масс механической системы. Дифференциальные уравнения поступательного движения тела. Т:Центр масс механической системы движется как точка, масса которой равна массе всей системы M=Σm_i, к которой приложены все внешние силы системы:

или в координатной форме:

где - ускорение центра масс и его проекции на оси декартовых координат; внешняя сила и ее проекции на оси декартовых координат. Диф. уравн. поступ. движ. тв. тела. mx_c = ∑X_i^E = X^E; my_c = ∑ Y_i^E = Y^E; mz_c = ∑Z_i^E = Z^E. Дифференциальные ур-ния поступательного движения твердого тела: и т.д. – проекция внешней силы. Все точки тела движутся так же, как и его центр масс С. Для осуществления поступательного движения необходимо, чтобы главный момент всех внешних сил относительно центра масс был равен 0:  =0.

6.Кол-во движения материальной точки и МС:

Количеством движения мат точки называется вектор, имеющий направление вектора скорости, и модуль, равный произведению массы точки m на модуль скорости её движения v.

Количеством движения механической системы называется вектор, равный геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех мат точек этой системы.

7.Теорема об изменении количества движения: Т.к из (14.1)

(14.1) выражает Т об изменении количества движения точки в диф форме: производная по времени от количества движения точки равна сумме действующих на точку сил. Из (14.1) при , при (14.2)

(14.2) выражает теорему об изменении количества движения точки в конечном виде (интегр. форме): изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени. , Для МС Т: диф форме: производн по времени от количества движения МС равна сумме всех внешних сил, действующих на систему. Д: Из теоремы о движ центра масс

Т в интегр форме: Изменение количества движения МС за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему за тот же промежуток времени.

Д: В результате интегрирования уравнения получим:

8. Закон сохранения количества движения: Если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то количество движений системы не изменяется

Если проекция главного вектора внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось постоянна