3.Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения. Частные случаи движения точки

Естественный способ.

Если задана траектория движения точки, выбрано начало и положительное направление отсчета и известна S=S(t) зависимость пути от времени, то такой способ задания движения точки называется естественным.

Скорость точки: V=dS/dt= .

Вектор скорости: . Вектор скорости направлении по касательной траектории в сторону движения точки.

Ускорение точки: , т.е. находится как сумма геометрического и нормального ускорения.

, , где - радиус кривизны траектории.

Тогда: а=S׳׳∙τ+ (S׳)²n/ρ

Модуль ускорения: а=√((a_τ)²+(a_n)²).

Частные случаи движения.

1.Равномерное движение.

а) прямолинейное движение:

.

, .

б)криволинейное движение: a_t=0, a=a_n

Закон равномерного движения: , интегрируя , получим

.

2. Равноускоренно движение..

Закон движения в этом случае:

Интегрируя

Получим . (1)

Так как

то получим

интегрируя, получим

. (2)

(1) и (2) – закон равноускоренного движения.

Где - начальное положение и начальная скорость точки на кривой.

4.Поступательное движение твердого тела и его свойства.

Поступательное движение твердого тела – это такое движение, при котором прямая, проведенная в теле остается параллельной своему первоначальному положению.

Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Док-во:

Радиус – вектор любой точки движущегося поступательно тела равен r_B=r_A+AB, AB=const. dr_B/dt=dr_A/dt+ dAB/dt=dr_A/dt => v_B=v_A, взяв вторые первые производные от скорости или первые производные от радиуса траектории, получим, что a_B=a_A.

Для задания поступательного движения твердого тела достаточно задать движение одной из его точек. x_A=x_A(t), y_A=y_A(t), z_A=z_A(t).

5. Вращательное движение твердого тела относительно неподвижной оси. Характеристики движения тела. Частные случаи вращения.

Вращательное движение твердого тела – это движение, имеющее 2 неподвижные точки. Проходящая через неподвижные точки А и В прямая АВ называется осью вращения.

Введем две плоскости: I – неподвижная, II – связанную с телом и проходящую через ось тела. Положение тела определяется, если задан угол (угол поворота тела) между плоскостями I и I I. При этом плоскость II – жестко связана с телом. Будем считать угол положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси ), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки.

- уравнение вращения движения твердого тела.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость и угловое ускорение .

Если за промежуток времени тело совершает поворот на угол , то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет . В пределе при найдем, что или .

Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени. Знак определяет направление вращения тела. Легко видеть, что когда вращение происходит против хода часовой стрелки, >0, а когда по ходу часовой стрелки, то <0.

Угловое ускорение характеризует изменение с течением времени угловой скорости тела. Если за промежуток времени угловая скорость тела изменяется на величину , то числовое значение среднего углового ускорения тела за этот промежуток времени будет . В пределе при найдем,

или .

Таким образом, числовое значение углового ускорения, тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени.

Размерность углового ускорения 1/T² (1/время²); в качестве единицы измерения обычно применяется рад/с² или, что то же, 1/с² (с-2).

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, - замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины и имеют одинаковые знаки, и замедленным, - когда разные.

Частные случаи:

1) равномерное вращение (ε=0):

2) равнопеременное вращение (ε_u=const):