3. Элементы комбинаторики. Упор-е и неупор-е выборки с возвращ-ем и без воз-я.

Предположим имеется нек кон-е мн-во {a₁, а₂,…, а_n } из кот-го выбирается к-эл-в (ai₁, аi₂,…, аi_k ) –выборка объема к из n эл-в. Выборки могут быть упорядочееными и не упор-ми.

Общая таблица числа выбора:

		С возвра щением
		Без возвращения
упорядоченная	Неупорядоченная	Выборка

Опр. Упорядоченная выборка без возвращения наз. размещением. Число размещений . Опр. Перестановкой из k элементов наз. совокупность этих же элементов, записанных в произвольном порядке. P_k-число перестановок из k элементов: . Опр. Произвольное k-элементное подмножество множества из n элементов наз. сочетанием из n элементов по k элементов. Сочетание—это неупорядоченная выборка объема k из n элементов. Обозначается число всех сочетаний из n элементов по k элементов через : , 0≤k≤n.

4. Элементы комбинаторики. Свойства сочетаний. Бином Ньютона .

Опр.Произвольное k-элементное подмножество множества из n элементов наз. сочетанием из n элементов по k элементов. Сочетание—это неупорядоченная выборка объема k из n элементов. Обозначается число всех сочетаний из n элементов по k элементов через : , 0≤k≤n. Свойства сочетаний: 1) ; 2) . Док-во : 3) 4) Док-во:

6. Свойства вероятности.

1) Вероятность невозможного события равна 0, т.е. . Док-во: .

2) Вероятность достоверного события равна 1, т.е. . Док-во:

.3) Для любого события вероятность лежит в пределах от 0 до 1, т.е. . Д-во: ; .

4)(Теорема сложения вероятностей): если события А и В несовместимы, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Док-во:

5)(обобщенная теорема сложения вероятностей) . Док-во:

6)(теорема сложения k слагаемых) Если события А₁, А₂,…, А_k попарно несовместимы, то .

7) Если событие А влечет В, т.е. , то Р(А)≤Р(В). Док-во: В=А+B\A; P(B)=P(A)+P(B\A) => P(B)≥P(A)

8) если событие А влечет В, то P(B\A)=P(B)-P(A)

9) Вероятность события, противоположного событию А, т.е. . Док-во: , .

10) если события Н₁, Н₂,…,Н_k образуют полную группу, то . Док-во: т.к. , , то по свойству 6: .

7.Геометрические вероятности. Предположим, что на числовой оси имеется некоторый отрезок [a,b] и на этот отрезок наудачу бросается точка. Найти вероятность того, что эта точка попадет на [c,d] [a,b]. — геометрическая вероятность на прямой. Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Вероятность попадания точки в фигуру g G определяется равенством: — геометрическая вероятность на плоскости. Пусть в пространстве имеется фигура r, составляющая часть фигуры L. На фигуру L наудачу брошена точка. Вероятность попадания точки на фигуру r определяется равенством: —геометрическая вероятность в пространстве. Замечание. Недостатком классического определения вероятности является то, что оно не применимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Для устранения этого недостатка и вводят геометрические вероятности.