21. Нормальное распределение. Стандартное нормальное распределение.

Опр. Говорят, что случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами a, , если она непрерывна и имеет плотность . Обозначение Х~N(a, ), т.е Х имеет нормальное распределение с параметрами a, G².

График плотности нормально распределенной случайной величины имеет вид:

Опр. Случайная величина Хо имеет стандартное нормальное распределение, если Хо~ N(0,1)/

- плотность стандартного нормального распределения.

26) Функция двух случайных аргументов. Формула свертки.

Опр. Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y: .

Случай 1. Пусть Х и Y—дискретные независимые случайные величины. Для того чтобы составить закон распределения функции Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности. Иными словами, составляется ряд распределения случайной величины Z.

Рассмотрим общий случай: Пусть Х и Y—независимые случайные величины, принимающие значения . Обозначим через , , . Z=X+Н. Обозначим через

. Таким образом, —формула свертки.

Случай 2. Пусть Х и Y—непрерывные случайные величины.

Теорема. Если Х и Y—независимые непрерывные случайные величины, то случайная величина Z=X+Y—также непрерывна, причем плотность распределения случайной величины Z —формула свертки.

Опр. Плотность распределения суммы независимых случайных величин называется композицией.

Замечание. Если возможные значения X и Y неотрицательны, то формула свертки .

26. Мат ожидание и их свойства.

Опр. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Обозначают математическое ожидание случайной величины Х через MX или М(Х). – случайная величина Х принимает конечное число значений.

Свойства математического ожидания: 1.Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C)=C. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX)=CM(X).

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: .

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин рано сумме математических ожиданий слагаемых: .

Теорема 1. Математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: .

27. Дисперсия и ее свойства .

Опр. Дисперсией св наз число . Дисперсия явл мерой разброса значений св вокруг ее математического ожидания.

1. Дисперсия постоянной величины С равна 0. DC=0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: .

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: .

29. Моменты сл величин. Коэфициент корреляции и его св-ва.

Опр. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание случайной величины Х^k: . В частности, , . —> .

Опр. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины (Х-МХ)^k. . В частности , —> .

Опр. Коэффициентом корреляции между случайными величинами Х и Y называется число .

Свойства корреляции.

1.Абсолютная величина коэффициента корреляции не превосходит единицы, т.е. .

2.Для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы случайные величины Х и Y были связанны линейной зависимостью. Т.е. с вероятностью 1.

3.Если случайные величины независимы, то они некоррелированы, т.е. r=0.

Опр. Две случайные величины Х и Y называют коррелированными, если их коэффициент корреляции отличен от нуля.