34. Закон больших чисел в форме Чебышева и Бернулли.

Опр1. Последовательность случайных величин Х₁, Х₂,… называется сходящейся по вероятности к случайной величине Х, если при . Обозначается .

Опр2. Говорят, что последовательность случайных величин Х₁, Х₂,… удовлетворяют закону больших чисел, если .

Теорема 1. Для любой случайной величины Х, имеющей конечную дисперсию DX, справедливо неравенство Чебышёва:

Для . .

Док-во: .

Таким образом, , .

Теорема 2. (закон больших чисел в форме Чебышёва).

Пусть Х₁,Х₂,…—последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной, т.е. . Тогда эта последовательность удовлетворяет закону больших чисел.

Теорема 3. (Закон больших чисел в форме Бернулли).

Пусть μ—число успехов в n независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р в одном испытании, тогда .

Док-во: Введем случайные величины μ_i—число успехов в i-ом испытании. Тогда .

μi	1	0
P	p	q

, (т.к. ).

(т.е. дисперсия ограничена ). μ₁, μ₂,…, μ_n—независимы. По закону больших чисел в форме Чебышёва . . .

30. Производящие функции и их свойства.

Пусть Х не отриц-я целочисленная св т.е. величина принимающая значения 0,1,2,…с некоторыми вероятностями , =1

Опр. Производящей ф-ей неотриц-й целочисленной св Х или вероятностей наз ф-я

Свойства производящих функций.

1. , P(1)=1

2.Производящая функция явл законом рас-я.

3. если независимые неотриц-е целочисленные св , то производящая ф-я их суммы равна произведению произ-щих ф-й.

4. Если у св сущ мат ожидание и дисперсия их можно н-ти так: MX=P’(1)

31. Характеристические функции и их свойства.

Опр.Характеристической функцией случайной величины называется функция.

Формулы для вычисления характеристической функции.

Случай 1. Пусть —дискретная случайная величина с рядом распределения

	x1	x2	…
Р	p1	p2	…

Случай 2. Пусть —целочисленная случайная величина с плотностью . Тогда характеристическая функция .

Свойства характеристических функций.

1. f(0)=1

2. -с в a, b—постоянные, тогда .

3.

4.Если случайные величины —независимы, тогда .

5.Если к-ый момент конечен то в окр-ти т.f=0 справедливо разложение хар ф-и

6. если для любого к≥1 сущ-ют конечне моменты к-го порядка т.е. , тогда сущ-ет непрерывная производная к-го порядка хар-ой ф-и и при этом к-й момент мат ожидания опр-ся

7. хар-я ф-я равномерно непрерывна на всей числовой прямой.

8. в часности, если хар-я ф-я действительная, то она четная. Если хар-я ф-я четная, то она обяз-но действительнозначная.

9. пусть неотриц целоч-я с в с произ-щей ф-ей P(z) , тогда ее хар-я функция

35.Закон бч в форме Хинчина. Центральная предельная теорема.

Теорема. (Ц.П.Т.). Пусть Х₁,Х₂,…—последовательность независимых случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения и конечное математическое ожидание а и дисперсию G². Тогда при вероятность того, что , где . N(x)—функция стандартного нормального распределения.

Замечание 1. Утверждение теоремы можно записать в следующем виде:

→