13.Предельная теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
Теорема(Предельная
теорема Пуассона).
Если в схеме
бернули n→∞.
p→0
np=λ
остается постоянной, тогда ф-ла Бернулли
Pn(k)
→
Теорема (локальная теорема Муавра-Лапласа).
Пусть в схеме
Бернулли 0<p<1,тогда
при n→∞
равномерно по всем
вида
,принадлежащим
кон отр [a,b],
,
где
-плотность
станд норм распред, ; q=1-p.
Имеются специальные таблицы значений функций φ(х). Нужно учитывать, что функция φ(х)–четная, т.е. φ(х)=φ(-х).
Теорема
(интегральная теорема Муавра-Лапласа).
Пусть в схеме Бернулли 0<p<1,тогда
по всем
=N(b)-N(a)=
Ф(b)-Ф(a),
где
,
14. Случайная величина, определения, борелевская ф-я от случайной величины.
Опр. Действительной
случайной велечиной
называется
функция измеримая отн σ-алгебры F
т.е. выполняется одно из 2-х эквивалентных
условий:
1) V
x
є R
{w=
(w)<x}
є F
2) V
BєB(x)
{w:
=
(w)є
B}
є F
15.Распределение случайной величины. Функция распределения и ее св-ва.
Опр. Функцией
распределения случайной величины
называется
дейст-я функция действительной
переменной
заданная на всей числовой прямой х є R.
F(x)=P(
<x)
Опр.
Распределением
св
наз ф-я мн-в
Заданная на σ-алгебре борелевских мн-в.
Свойства функции распределения.
1. 0≤F(x)≤1.
2. F(x)–неубывающая функция
3.
F(-∞)=0,
F(+∞)=1
или
.
4.
Функция F(x)
непрерывна слева. (т.е.
).
5. P( =a)=F(a+0)-F(a).
6. P(a≤ <b)=F(b)-F(a) P(a≤ ≤b)=F(b+0)-F(a)
P(a< ≤b)=F(b+0)-F(a+0)
P(a< <b)=F(b)-F(a+0)
7. Если F(x) непрерывна в т а, то P( =a)=0
Теорема(о сущ-и св с заданной ф-ей распределения)Пусть F: R→R ф-я обладающая см-ми 1,4,3. Тогда сущ-ет вероятностное пространство (Ω,F,P) и св заданная на этом вероятностном пр-ве для кот-й ф-я распределения совпадает с заданной функцией.
Опр. Законом рас-я св наз любая ф-я однозначно определяющая её ф-ю распределения, в часности сама ф-я рас-я явл законом распределения.
16. Дискретные случайные величины. Ряд распределения.
Опр. Случайная величина называется дискретной, если она принимает конечное либо счетное число значений.
Опр. Соответствие между значениямисв и вероятностями этих значений наз рядом распределения дискретной св.
Обычно рыд рас-я задается в виде таблицы
По ряду рас-я можно н-ти ф-ю рас-я, поэтому ряд рас-я является законом распределения.
17. Дискретное биномиальное,
равномерное, геометрическое, распределение Пуассона.
1.биномиальное распределение с параметрами n и p
,
к=0,..,
n
-кол-во успехов в n испытаниях Бернулли.
2. дискретное равномерное распределение.
3.геометрическое распределение с параметром р.
,
q+p=1,
k=0,1,…
4. распределение Пуассона с параметром λ>0
18.Абсолютно непреревные св. Плотность, её свойства .Функция распределения.
Опр.
Св
её рас-е
и
её ф-я распределения
наз
абсолютно непрерывными, если сущ-ет ф-я
: R→[0;+∞
) такая что ф-я распределения можно
представить в виде
ф-я наз плотностью вер-ти или плотростью распределения вер-ти.
Свойства плотности распределения.
1.
почти всюду.
2.Плотность
распределения—неотрицательная функция:
.
3.
.
19.Показательное, равномерное распределение.
Опр. Говорят,
что случайная величина Х имеет
показательное
(экопоненциальное)
распределение с параметром λ>0,
если она непрерывна и имеет плотность
распределения
;
обозначают Х~M(λ).
Найдем функцию распределения показательно распределенной случайной величины Х.
а) x≤0
.
б)x>0
Таким
образом
Опр.
Говорят, что случайная величина Х
равномерно
распределена на отрезке [a,
b],
если она непрерывна и имеет плотность
вероятности:
Найдем функцию распределения равномерно распределенной случайной величины X.
а) x≤a
;
б)a<x≤b
.
в)x>b
.
