4.5. Расчет средних по результатам группировки. Свойства средней арифметической

Очень часто исходные данные для анализа бывают представлены в сгруппированном виде, когда для каждого значения осредняемого признака Х сообщается частота его повторения. В этих случаях средняя величина рассчитывается по обычным формулам средних взвешенных (арифметических либо гармонических). Сложности возникают, когда в сгруппированных данных указывается не конкретное значение признаках по каждой группе, а лишь интервал его изменения. В данном случае правильный расчет общей средней величины возможен, если каким-либо способом удается получить среднее значение признака по каждой группе; далее используются обычные формулы средних взвешенных. Если же средние значения признака в группах определить по имеющимся сведениям нельзя, то их заменяют серединами интервалов, получая в итоге некоторое, чаще всего вполне удовлетворительное, приближение к среднему значению.

Таким образом, расчет средней арифметической делают по формуле

, где

Отметим, что расчет среднего значения по данным группировки требует особого внимания при выборе взвешивающего показателя. Очень часто величины m – частоты повторения признака Х – в исходных данных либо отсутствуют, либо не столь очевидны. Для примера рассмотрим следующие данные:

Группы предприятий	Себестоимость одного изделия, тыс. руб.	Число предприятий, %	Объем продукции, %	Затраты на производство, %
1	110 – 115	8	9	8,2
2	115 – 120	16	18	17,2
3	120 – 125	24	24	23,9
4	125 и выше	52	49	50,7
Итого	–	100	100	100

Если с определением середин интервалов никаких сложностей не возникает (112,5; 117,5; 122,5; 127,5), то при назначении взвешивающего показателя типичной ошибкой является выбор признака “Число предприятий”. Умножение величины себестоимости одного изделия на число предприятий никакого экономического смысла не имеет, в то время как умножение себестоимости одного изделия на объем продукции дает реальную экономическую величину – общую сумму затрат. Таким образом, в качестве взвешивающего показателя следует выбрать показатель объема продукции. Тогда средняя себестоимость изделия будет равна

Х = 112,5 • 0,09 + 117,5 • 0.18+ 122,5 • 0,24 + 127,5 • 0,49 = 123,15 тыс. руб.

Частоты повторения признака могут потребовать и применения формулы средней гармонической. Так, показатель “Затраты на производство” в форме относительных величин позволяет также определить среднюю себестоимость изделия:

Средняя арифметическая величина обладает рядом свойств, позволяющих ускорить расчет.

1. Величина средней арифметической не изменится, если веса всех вариантов умножить или разделить на одно и то же число. Это свойство доказывается элементарно.

2. Если все индивидуальные значения признака (т.е. все варианты) увеличить либо уменьшить в одно и то же число раз (или на одно и то же число), то среднее значение получившегося нового признака будет во столько же раз (или на столько же) отличаться от среднего значения исходного показателя.

Действительно,

;

.

Свойство 1 используется, как было показано ранее, для расчета средних значений через показатели структуры.

Свойство 2 применяется для ускорения расчетов, особенно если первичные данные представлены в сгруппированном виде.

Так, по приведенным данным найдем новую величину X^’, варианты которой определим по формуле

.

Тогда X_i = X^’_i * h + А.

Переходим к средним величинам:

,

или .

Для ускорения расчетов важно правильно выбрать величины А (обычно это середина какого–либо интервала) и h (чаще всего это величина интервала изменения признака в какой–либо группе). Пусть, например, А = 122,5 и h = 5. Получаем последовательность значений величины Х^’_i: –2, –1, 0, 1. Среднее значение будет равно

= (–2) • 0,09 + (–1) • 0,18 + 0 • 0,24 + 1 • 0,49 = 0,13.

Теперь = 5 • 0,13 + 122,5 =123,15 тыс. руб.