1. .

2. Функция распределения случайного вектора неубывающая по каждому аргументу.

Cвойство 3. .

=0

.

Свойство 4. Ф-я распределения непрерывна слева по каждой координате.

Функция

называется функцией распределения

случайного вектора или совместной функцией распределения случайных

величин .

Свойства плотности распределения случайного вектора.

Cвойство 1. Свойство 2. .

.

Свойство 3. ,..,

№13.

Опр.Случайные величины наз-ся независимыми, если совместная функция распределения = .

Теорема 1. (Критерий независимости).

Для того чтобы дискретные случайные величины были независимы, необходимо и достаточно, чтобы для любых борелевскх можеств выполнялось соотношение .

Теорема 2. (Критерий независимости для непрерывных случайных величин).

Для того чтобы непрерывные случайные величины были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы для любых действительных чисел х₁,…,х_n выполнялось соотношение

.

Док-во. (необх). Пусть независимые, т.е. выполняется . ,.., = = … =

Теорема 2. (Критерий независимости дискретных случайных величин).Для того чтобы дискретные случайные величины были независимы, необходимо и достаточно, чтобы для любых действительных чисел х₁,…,х_n выполнялось соотношение .

Преобразование случайных величин.Формула свёртки.

Пусть f: преобразуется с помощью непрерывно дифференцированных фун-й (по каждой переменной). c якобианом, отличным от 0, тогда обратное отображение f^-1. Его якобиан i^-1.

Т-а.Пусть f: преобразование с помощью непрерывно дифференцированных функций с отличным от 0 якобианом. - абсолютно непрерывный вектор с плотностью рапределения

Пусть , тогда случайный вектор тоже абсолютно непрерывны и его плотность . В случае одномерного пространства - абсолютно непрерывна с плотностью p, , тогда .

Пусть и - независимые абсолютно непрерывные случайные величины с плотностями и . Пусть , тогда или

№14.

• Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Обозначают математическое ожидание случайной величины через M или М( ). Если случайная величина принимает конечное число значений, то .

Если случайная величина принимает счетное число значений, то , причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Математическое ожидание дискретной случайной величины—это неслучайная величина (т.е. число, постоянная).

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

M(C)=C.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

M(C )=CM( ).

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: =

Док-во:

Cвойство 4.Монотонность . , то

• Дисперсией случайной величины называется число . Дисперсия является мерой разброса значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Пример 4. Найти дисперсию случайной величины , которая задана рядом распределения.

	2	3	5
P	0,1	0,6	0,3

.

Ряд распределения случайной величины ²

2	4	9	25
Р	0,1	0,6	0,3

.