Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины С равна 0. DC=0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

.

.

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

.

Следствие. Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

• Коэффициентом корреляции между случайными величинами и называется число .

• Ковариацией между случайными величинами и наз-ся такое число

Свойства корреляции.

1. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превосходит единицы, т.е. .

2. Для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы случайные величины и были связанны линейной зависимостью. Т.е. с вероятностью 1.

3. Если случайные величины независимы, то они некоррелированы, т.е. r=0.

Пусть и —независимы, тогда по свойству математического ожидания

№15.

Под целочисленной случайной величиной будем понимать дискретную случайную величину, которая может принимать значения 0,1,2,…

Таким образом, если случайная величина —целочисленная, то она имеет ряд распределения

	0	1	2	…
Р	р0	р1	р2	…

• Пусть —целочисленная величина с законом распределения

	0	1	2	…
Р	р0	р1	р2	…

Ее производящей функцией называется функция

Свойства производящих функций.

1. Производящая функция определена в области .

2. Производящая функция

3. Значение производящей функции в точке Z=1, P(1)=1. .

4. Если Z=1, то M =P’(1)

.

.

5. 

. Если Z=1 .

.

Следовательно, .

6. Если Х₁,Х₂,…,Х_n—независимые целочисленные случайные величины, то производящая функция .

.

1. Характеристической функцией случайной величины называется функция , где .

Формулы для вычисления характеристической функции.

Случай 1. Пусть —дискретная случайная величина с рядом распределения

	x1	x2	…
Р	p1	p2	…

.

Случай 2. Пусть —целочисленная случайная величина с плотностью . Тогда характеристическая функция .

Свойства характеристических функций.

1. Характеристическая функция определена для любой случайной величины. При этом , .

. .

Поскольку , то

2. Характеристическая функция случайной величины , где a, b—некоторые числа.

.

.

3. Если случайные величины —независимы, то характеристическая функция суммы данных случайных величин равна произведению характеристических функций этих случайных величин, т.е.

.

4. Если М , характеристическая функция случайной величины n раз дифференцируема, причем , где .

Замечание. Необходимо отметить, что функция распределения величины однозначно определяется характеристической функцией. Таким образом, характеристическая функция является законом распределения случайной величины.

Свойство 5.

Свойство 6. Если случайные величины и независимы, то производящая ф-я

№16.

Пусть , где -случайная величина наз-ся случайной последовательностью.

Последовательность случайных величин называется сходящейся по вероятности к случайной величине если для любого положительного числа , т.е.

при . Обозначается .

Опр.Говорят, что последовательность сход-ся к случайной величине слабо, если последовательность фун-и распределения cлабо сход-ся к .

Говорят, что последовательность случайных величин удовлетворяют закону больших чисел, если .

Т-а. Пусть { }- последовательность независимых случ-х величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же константой, тогда эта последовательность удовлетворяет закону больших чисел.