24.Понятие многомерного нормального распределения. Лемма Фишера. Следствие из Леммы Фишера.

Опр.Стандартным многомерным нормальным распределением в Rⁿ наз случ вектор ,каждая координата которого имеет стандартное нормальное распределение. ОПР. Говорят,что имеет норм распределение в Rⁿ,если ,где А неслучайная ненулевая матрица,а-неслуч вектор, -случ вектор,имеющий стандартное норм-е распределение. Числовые характеристики случ вектора могут быть вычислены след образом: т-ма:Если случ вектор имеет нормальное распр-е и его координаты ₁ и ₂-некоррелированные случ величины,то ₁ и ₂-независимы и каждый из них имеет норм-е распр-е.

Лемма Фишера: Пусть случ величины независимы и нормально распределены с параметрами .Пусть для p<n случ величина являются линейными комбинациями с матрицей коэффициентов,строки которой ортонормированны. не зависит от . (хи квадрат с n-p степенями свободы.). Следствие из леммы Фишера:Пусть -выборка из нормального распределения с параметрами ,тогда случ-я величины независимы и

25. Определение одностороннего и двустороннего доверительных интервалов. Точность интервальной оценки. Надежность. Лемма о равномерном распределении. Основная теорема интервального оценивания.

Пусть – выборка из распределения зависящего от неизвестного параметра . Статистика называется односторонним верхним доверительным пределом для неизвестного параметра с надежностью (доверительной вероятностью) ( или с уровнем значимости , если .

Статистика называется односторонним нижним доверительным пределом для неизвестного параметра с надежностью (доверительной вероятностью) ( или с уровнем значимости , если .

При этом интервалы и называются верхним и нижним односторонними доверительными интервалами для (с надежностью ).

В статистике и называются соотв. двусторонними нижним и верхним доверительными пределами, если – надежность, при этом интервал ( называется двусторонним доверительным интервалом для неизвестного параметра с надежностью (уровнем значимости .

Замечание: – неизвестное число, - случайные величины.

Если - точечная оценка параметра , двусторонний доверительный интервал имеет вид:

, то называется точностью интервальной оценки.

Надежность – вероятность того, что для некоторой оценки параметра выполняется , т.е. .

Лемма о равномерном распределении

Если функция распределения с.в. непрерывна, то с.в равномерно распределена на [0,1].

Док-во: т.к. , то , ; , ; Пусть

– функция равномерного распределения.

Основная теорема интервального оценивания

Пусть – выборка из распределения зависящего от неизвестного параметра и – некоторая булевская функция, зависящая от . - функция распределения с.в. , непрерывной по .

Если - не возрастает по при фиксированном x, то односторонние доверительные пределы для с надежностью находится из уравнений ; ;

Двусторонние пределы с надежностью находятся из уравнений ; ;

Если - не убывает по при фиксированном x, то односторонние доверительные пределы для с надежностью находится из уравнений ; ;

Двусторонние пределы с надежностью находятся из уравнений ; ;

Док-во: 1) Пусть не возрастает по . Пусть - корни уравнений ; ; т.к. по лемме о равномерном распределении равномерно распределена на [0,1], то – функция равномерного распределения => явл. нижним доверительным пределом. Для док-во аналогично. Для доказательства второй части 1) нужно использовать лемму о построении двусторонних интервалов по односторонним.

Построение доверительного интервала для математического ожидания при известной (неизвестной) дисперсии. Построение доверительного интервала для дисперсии при известном (неизвестном) математическом ожидании.

Предположим, что - выборка из нормального распределения генеральной совокупности с параметрами . Построить доверительные интервалы для и . Могут возникнуть 4 случая:

1. Пусть - известно. Построить ДИ для . Этот ДИ нужно строить при помощи точечной оценки . По следствию из теоремы 1.

~N( ).

По лемме о нормальном распределении ~N(0,1). Поэтому .

- функция Лапласа.

t – корень уравнения .

Решим левое неравенство относительно :

.

Решим правое неравенство относительно :

.

Следовательно, получаем:

,

где - точность оценки.

2. Пусть - неизвестно. Надо построить ДИ для .

~N(0,1).

С другой стороны, по лемме Фишера:

.

Отсюда .

- отношение Стьюдента с n-1 степенью свободы.

.

Здесь , где - уровень значимости для процентных точек.

- искомый ДИ.

3. Пусть - известно. Построить интервальную оценку для .

- неисправленная выборочная дисперсия.

По лемме Т1. . Поэтому вероятность того, что

,

.

, где - уровень значимости.

.

- искомый ДИ.

4. Пусть - не известно. Построить ДИ для .

.

По Лемме Фишера .

;

,

,

.

, .

- искомый ДИ.

Простые и сложные гипотезы. Выборочное пространство. Критическая область. Статистика критерия. Ошибки первого и второго рода. Критерии проверки. Мощность критерия. Лемма Неймана-Пирсона.

По лекциям. Если что. Смотрите 9. Проверка статистических гипотез.

Пусть - выборка из абсолютно непрерывного распределения с плотностью p(x), которая нам неизвестна. Предположим, что мы хотим проверить гипотезу (основную или нулевую) . Вектор называется вектором наблюдений, а множество его значений X – выборочным пространством.

Нулевую гипотезу можно сформулировать и в другом виде: т.к. наблюдаемые значения в выборке независимы, то плотность распределения С.В. . Тогда

Нулевая гипотеза называется простой, если рассматривается конкретное единственное распределение (напр. ). Если нулевая гипотеза отражает принадлежность p(x) к некоторому классу распределений (напр. , то такая гипотеза называется сложной.

Критической областью называется совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают, а совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают, называют областью принятия гипотезы.

Если критическая область имеет вид , где – некоторая борелевская функция, c – const, то называется статистикой критерия.

Критерием проверки называется с.в., которая служит для проверки гипотезы.

Ошибка 1-го рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки первого рода , называется уровнем значимости. Ошибка 2-го рода состоит в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки первого рода , где - альтернативная гипотеза. Число называется мощностью критерия. Чем выше мощность, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода.

Одновременно невозможно. Если увеличивать, то будет уменьшаться и наоборот.

Лемма Неймана-Пирсона

Из всех подмножеств с фиксированной вероятностью ошибки первого рода

, критическая область вида , дает наиболее мощный критерий (мин. ошибку 2-го рода). Оптимальное значение z находится из уравнения .

26. Гипотезы значимости и критерии значимости. Уровень значимости критерия. Построение критериев значимости по интервальным оценкам. Критерии сравнения параметров двух выборок. Критерий Хи-квадрат Пирсона как критерий соответствия вероятностей в полиномиальной схеме.

Если имеется только и нет никакой альтернативы, то про вероятность ошибки 2-го рода забывают. Учитывая только ошибку 1-го рода - критерий значимости . Тогда гипотезу называют гипотезой значимости. А критерии для их проверки критериями значимости. Задавая находят критическую область, исходя из условия . Если по имеющимся данным , то получается, что происходит событие, имеющее очень маленькую вероятность, поэтому отвергают. Т.к. вероятность ошибки 2-го рода не учитывается, то такие критерии менее надежны.

?Критерии сравнения параметров двух выборок Предположим, что известны. H₀: a₁=a₂. В качестве оценок возьмем . Критическая область . , т.к. -несмещенная оценка a₁

. Т.о , аналогично

.

.

Таким образом:

В качестве статистики критерия берем случайную величину (по лемме о нормальном распределении).

Если . Критическая область будет находиться из следующего условия , здесь -уровень значимости, который задается. Предположим, что H₀-верна. Находим D⁰.

. Если , то H₀ отвергается; если , то H₀ согласуется с экспериментальными данными.

т.к.

находим D₀ по таблице функции Лапласа.

Пусть -неизвестно H₀: a₁=a₂.

По лемме Фишера:

-независимы и имеют стандартное нормальное распределение.

;

.

-отношение Стьюдента.

В качестве статистики возьмем:

- отношение Стьюдента.

;

.

Если гипотеза H₀ отвергается.

Если гипотеза H₀ согласуется с экспериментальными данными.

;

.

D₀-% точка распределения Стьюдента,

.

Критерий Хи-квадрат Пирсона как критерий соответствия вероятностей в полиномиальной схеме.

Конспект. Пример 4

Предположим, что проведено n независимых испытаний. В каждом из которых может произойти один из k несовместимых исходов . Предположим, что мы хотим проверить гипотезу, что вероятности в каждом отдельном испытании . Обозначим через – число появления исхода . Составляется статистика . . . Если , то отвергается, если , то согласуется с экспер. данными.