Понятие, сущность и задачи дисперсионного анализа. Однофакторный дисперсионный анализ. Групповые средние. Проверка гипотезы о равенстве групповых средних.
Опр: Дисперсионным анализом называют статистический метод анализа результатов измерений, зависящих от различных одновременно действующих факторов.
Рассмотрим однофакторный
дисперсионный анализ. Пусть выборка
разбита на r групп, причем
i-я группа содержит
величин
Предположим, что все указанные величины
распределены нормально и
,
j=1,…,
;
i=1,…,r.
Нам нужно проверить
гипотезу, согласно которой
.
В физической постановке
эта задача выглядит так: одна и та же
величина a измеряется r
различными приборами, имеющими одинаковую
точность. Нас интересует, имеют ли
приборы различные систематические
ошибки. В рассматриваемом примере
исследуется влияние одного фактора(
прибора) на погрешность измерения.
Введем следующие обозначения:
,
,
n=
Групповые средние
являются
несмещенными и состоятельными оценками
величин
.
Если все одинаковы, то общая средняя не должна сильно отличаться от групповых. В противном случае разброс относительно должен быть более значительным. Представим общую, или полную, сумму квадратов отклонений:
=
(1)
в следующем виде:
=
(2) , где
=
=
.
(3)
Равенство (2) следует из (1), если воспользоваться формулами:
Опр: Сумму называют суммой квадратов отклонений “между группами” , - суммой квадратов отклонений “внутри групп”.
По лемме Фишера
величина
, следовательно,
имеет распределение
степенями свободы.
Можно показать, что
если
,
то
и
независимы и
. Следовательно, при
величина
. (4)
имеет распределение Фишера с r-1, n-r состояниями свободы. Величина (4) может быть использована для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий
.
Если эта гипотеза верна, то
и
являются состоятельными оценками одной
и той же случайной величины а и,
следовательно, близки между собой, а
величина
мала. Если
различны, то
и
сближаются с разными математическими
ожиданиями:
,
и, следовательно,
сумма
должна принимать большие значения.
Независимо от предложения о равенстве
,знаменатель в (4) остается оценкой σ².
Это означает, что при увеличении
расхождения между
величина (4) в среднем должна принимать
большие значения. Статистический
критерий формулируется следующим
образом: если
,
то гипотеза
отвергается. Здесь С определяется по
таблице распределения Фишера с уровнем
значимости
Корреляционный анализ.
Для оценки
силы линейной связи необходимо проверить
гипотезу о значимости коэффициента
корреляции.
.
Если
отвергается, то говорят. Что коэффициент
корреляции значим, и есть все основания
рассматривать линейную зависимость
между x и y.
Коэффициент
корреляции изменяется от -1 (строгая
обратная линейная зависимость) до 1
(строгая прямая пропорциональная
зависимость). При
,
x и y
независимы.
Для проверки гипотезы о значимости коэффициента корреляции:
Находится коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции — параметр, который характеризует степень линейной взаимосвязи между двумя выборками, рассчитывается по формуле:
Рассчитывается
и
Если
,
то
согласуется с экспериментальными
данными и с.в. x и y
независимы, в противном случае
не согласуется и с.в. x и
y зависимы.