6.Формула полной веоятности. Формула Байеса.

Пусть В1…Вn полная группа попарно несовместных событий, т.е. , Bi*Bj=0, i≠j

Пусть событие А происходит т.т.т. когда происходит одно из n несовместных событий, тогда P(A)=P(A|B1)*P(B1)+P(A|B2)*P(B2)+...+P(A|Bn)*P(Bn)-Формула полной вероятности. Док-во: {Bi}-несовместы→{ABi}-несовместны; P(Bi)>0;

Формула Байеса.

A и B1...Bn-события; P(ABj)=P(A|Bj)P(Bj)= P(Bj|A)P(A); P(A)>0; P(Bj)>0

P(Bj|A)= P(A|Bj)P(Bj)/P(A)= P(A|Bj)P(Bj)/ Применим если произошло событие; Bj- назыв. гипотезами, при кот. осущ. соб. А; А- произошло ; P(Bj)-априорные (вер-ти до опыта); P(Bj|A)-апостериорные вер-ти (после опыта).

7. Дискретная случайная величина. Примеры: распред

Пусть происх соб А или Ă; Свяжем с этими соб так назыв индикатор;

χ=1_А (ω)={ ; P(χ=1)=P(A)=p; P(χ=0)=P(Ă)=1-

χ-случайная велич; (χ=0)=А,(χ=1)=Ă-случ соб;

Х-случ велич ( приним знач х₁…х_n(числа)), если (Х=х_i)=A_i

0≤i≤n; если A_iприн Ǻ ,то X-случ велич;

Опр: Дискреная случ велич с конечным числом значений назыв величину кот приним одно из возможных х₁…х_n, когда (Х=х_i) Для любого случ i;

Св-ва:1) p_i≥0, 0≤i≤n;2)р₁+р₂+…+р_n=1; Одна из дискретных величин будет отлич от другой либо набором вер-ей, либо набором значений; Для того чтобы определ дискрет случ велич с конечным числом значений необходимо узнать ее значение , а так же вер-ти этих значений. Набор вер-ей –это распределение этой случ величины.

Рапределение Бернулли

Х { ; P(x=1)=p ; P(x=0)=1-p=q; P(X=x_i)=p^xi q^1-xi ;x₀=0;x₁=1;

Биномиальное распределение.

P(x=0)=1-p=q, P(x=1)=p P(X=x_i)=p^xiq^1-xi

Гипергеометрическое распределение

max(0,M-N+n) ≤k≤min(n,M)

Распределение Пуассона

8. Теорема Пуассона (с док-вом). Оценка отклонения.

Пусть Р в биномиальном распр-ии завиит от n. np→λ (n→∞),т.е. р=λ/n+о(1/n). Тогда для к-фиксир.:

Докво:

Локальная теорема Муавра-Лапласа

9.Функция разпр-ия сл. Величин. Св-ва ф-ции распр.

x₁,x₂,….x_n

p₁,p₂,…,p_n сумма p_i=1, p_i≥0

Ф.распр. сл.вел. Х назся Р(Х<х)=F(х)

Св-ва:

1) 0≤F(x)≤1 2).F(-∞)=0 F(∞)=1 3).Ф-ция рас. – неубыв. ф-ция. X<b=(X<a)U(a≤X<b) F(b)=P(X<x)=P((X<a)U(a≤X<b))=P(X<a)+P(a≤X<b)=F(a)+...

4)Ф-ция расп. непрер. по кранйей мере слева. 5) мн-во скачков ф.р. не более чем счетное мн-во. 0≤F(x) ≤1. имеет не >1 скачка вел-ны 1,… не >n скачков вел-ны 1\n

10. Непрерывные величины. Плотность распределения

Непрер распределение. F(x)= , f(x)-пло. распред; Св-ва:

1)f(x) ≥0,

2) =1; Для того что бы определить непрер случ велич достаточно задать пл-ть;

Примеры непрер случ-х величин:

1)Равномерное распред на (a,b) случ веллич R(a,b)

f(x)= F(x)=

2)Нормальное рапред.(Распред Гаусса). f(x)= , φ(x)= ^{-x^2/2}; φ(x)=φ(-x);

Ф(х)=1-Ф(х);

4)Показательное распределение.

f(x)= Ф-ия распред F(x)=λ-e^λx,x>0

5)Распр Порето.

F(x)=1-(θ/x)^α,

6)ХИ-квадрат распр.

f_n(x)= (α)= ,α>0;Г(α+1)=αГ(α);Г(n+1)=n!;Г(1/2)= ; 7)Распред Стьюдента.(t_n)

8)Распред Фишера.(F_m,n-распред с 2-мя параметрами)