16.Коэффициенты ковариации и корреляции. Независи

Х=(х₁,…,x_n) – слу. вектор. Дисперсией случ. вел. назыв-ся матр. ков-ции:

Коэф.ков:σ_ij=cov(x_i,x_j)=E((x_i-E(x_i))(x_j-E(x_j)))=E(x_ix_j)-E(x_i)E(x_j) σ_ii=σ_i²=E((x_i-E(x_i))²) σ_ij=σ_ji

σ_ij – индикатор нез-сти: если =0, то x_i, x_j – незав., если не равен – завис.

Если коэфф. ковар.=0, т.е. x_i,x_j – независ., то эти величины – некоррелированные

Вместо x_i,x_j рассмотр. нормир. величины:

ρ_ij – коэфиц. коррел.

Проверка гипотезы: Пусть (х₁,х₂) имеет двумерное нормальное распределение:

с плотностью

Здесь , т.е. ρ явл. коэф. кор.

Если ρ=0, то

,

т.е. х₁ и х₂ и независимы. Здесь независ-ть и некоррел-ть равносильные понятия

17.Характеристическая ф-ция: определение и свойства.

Характе.ф.сл.вел. Х:

Св-ва:

1)Единственность. Пусть φ₁(t)-хар.ф-ция x₁, φ₂(t)-х.ф.х₂, если φ₁(t)=φ₂(t), то F₁(x)=F₂(x)

2) Хар. функция определена, равномерно непрерывна для любого t и ограничена.

3)

4)

5) Х,У – нез. сл.в., тогда

Еще: Если φ(t)-хар.ф., то хар. ф-циями будут: φⁿ(t), φ(с чертой)(t), |φ(t)|², Reφ(t)

хар.ф. и моменты

Th Пусть Х имеет момент порядка n, т.е. E(|X|ⁿ)<0, тогда сущ. φ⁽ⁿ⁾(t). При этом | φ^(k)(t)|≤E(|x|^k) (1≤k≤n), 2) E(X^k)=μ_k=φ^(k)(0)/i^k

Обратная теорема: Если существует производная четного порядка от хар. ф–ции, то существует и момент соответствующего порядка.

18.Предельные теоремы для хар.Ф-ций.Теорема Муавр

x_n ,х – сл.вел. F,F_n – их ф.расп. Тогда говорят: ,если F_n(x)→F(x)

Т.Муавра-Лапл: Пусть , φ_n(t) – хар.ф. x_n, φ(t) – хар.ф. x. Тогда φ_n(t)→φ(t)

Т.Леви (обратная): φ_n(t) – хар.ф. сл.вел. x_n, φ_n(t)→φ(t), тогда φ(t) – хар.ф-ция и

Т.Муавра-Лапл.(интегральная): Пусть x_i имеет распр. берн. В(1,р), и S_n=x₁+…+x_n тоже имеет распр. Берн. Тогда

док-во: φ_xi(t)=pe^it+q, φ_sn(t)=(pe^it+q)ⁿ

=

= φ_n(t)

- характерист. ф-ция. Имеет место сх-сть ф-кций распр-ия.

Т.Пуассона:ζ_n1,ζ_n2,…, ζ_nn незав. распр. сл. вел-ны, ζ_ni принадл. В(1,P_ni). S_n= ζ_n1+ζ_n2+…+ζ_nn

1) max P_ni→0 равномерн. сх-сть к 0

2) P_n1+…+P_nn→λ

тогда

19.Взаимооднозначная функция случайной величины и

Х – сл.вел. F(x) – ф-ция распр. Х=(х₁,…,х_n).Пусть g(x) – измерим функция, тогда Y=g(x) – сл.вел. g(x) – взаимооднозн. Y=αX+β G(y) – ее ф-ция распр.

G(y)=P(Y<y)=P(αX+β<y)=P(αX<y-β)=P(x<(y-β)/ α)=F((y-β)/ α). Плотность распр-ия:

g(y)=|h’(y)|f(h(y)) – плотность распр.

Распр. частного двух нез. переменных:

x₁,x₂ – незав, f₁(x),f₂(x) – плотн. распр. Y=x₁/x₂

20.Распределение суммы независимых случайных вели

х₁,х₂ – случ. вел-ны. f₁(x),f₂(x) – плотности. Y=x₁+x₂, f(y)-?

21. Сходимости случайных величин.

{X_n}-посл-сть сл.вел., а – неслуч. Тогда X_n сх-ся к а:

1) по вероятности, если для люб. ε>0 P(|X_n-a|≤ε)→1

2) почти наверное, если Р(Х→а)=1

3) средне квадратично, если Е((Х_n-а)²) →0

4) по распред-ию, если F_n(x) – ф.р. x_n и F_n(x) →F(a)

Th1: Послед-ть пар случ. вел-н {Xn,Yn}, n>=1; Yn[по d] _[n->∞]->X; |Xn-Yn|[по p] _[n->∞]->0 => Xn[по d] _[n->∞] ->X

Док-во: Zn=Yn-Xn Xn=Yn-Zn; Fn(x) – ф.р. сл. вел. Х, тога: Fn(x)=P(Xn<x)=P(Yn<x+Zn)=P(Yn<x+Zn,Zn<ε)+P(Yn<x+Zn,Zn>=ε)=<P(Yn< x+ε)+P(Zn>= ε); Zn>= ε; Zn=<-ε; Zn[по p]_[n->∞]->0; P(|Zn|>= ε) _[n->∞]->0;

(Zn>=ε)входит(|Zn|>= ε)=>P(Zn>= ε)=<P(|Zn|>= ε) _[n->∞]->0; P(Yn<x+ε) _[n->∞]->P(X<x+ε)=

F(x+ε)=>lim^—_[n->∞]Fn(x)=<F(x+ε); lim_—[n->∞]Fn(x)>=F(x-ε); x – т. непрер-ти. Если ε->0, то справа и слева будет тоже число F(x) lim_[n->∞]Fn(x)=F(x)

Следствие:

Если Xn[по p] _[n->∞]->a => Xn[по d] _[n->∞]->a; P(x=a)=1;

Th2: ск.=>p;

Док-во: по нер-ву Чебышева: P(|Xn-a|<ε)>=1-(E(Xn-a))/ε²; по усл-ю

E(Xn-a)²_[n->∞]->0 =>^{[для люб. ε>0]}P(|Xn-a|<ε) _[n->∞]->1

Th3: Если Xn[по d] _[n->∞]->a=>Xn[по p] _[n->∞]->a;

Док-во: n(x)=P(Xn<x) _[n->∞]->

P(Xn>=x) _[n->∞]->0, для x>a; (P(Xn<a+ε) _[n->∞]->0 и P(Xn>=a+ε) _[n->∞]->0) => P(|Xn-a|>=ε) _[n->∞]

->0 – это означает, что Xn[по p] _[n->∞]->a