11.Случайный вектор и его функция распределения.
Случ.вектор – сов-сть случ. вел.,изучаемых совместно.
F(x1,…,xm)=P((X1<x1)…(Xm<xm)) – его ф-ция рапред.
Св-ва:
1)F(∞,∞,…,∞)=1
2) F(x1,…,xk-1,-∞,xk+1,…,xm)=0
3) не убыв. по кажд. арг-ту, и непрер слева по каждому аргументу
4) F(∞,∞,…,∞,xi,∞,…,∞)=P(Xi<xi)=F(xi)маргинальная ф-ция распр.
12.Случайный вектор, примеры непрерывных случ.Век
Случ.вектор – сов-сть случ. вел.,изучаемых совместно.
(x1,…,xn)
– непрер. сл. вектор, если
Дискретный случайный вектор:
3 шара в 3 ящика. и ящики, и шары различимы.
N-число зап. ящиков, Х1 – число шаров в первом ящике
|
0 |
1 |
2 |
3 |
N |
1 |
2/27 |
- |
- |
1/27 |
1/9 |
2 |
6/27 |
6/27 |
6/27 |
- |
2/3 |
3 |
- |
6/27 |
- |
- |
2/9 |
X1 |
8/27 |
12/21 |
6/27 |
1/27 |
1 |
P(X1=0)=Р(Х1=0,N=1)+P(X1=0,N=2)+P(X1=0,N=3)=8/27
Непрерывн. случайн. вектор
равномерноераспределени в области:
v=mesG
а) в круге б) в прям-ке (подставляем площадь вместо v)
13.Условное распределение. Независимость случайных
В – событие
F(x2/x1прин.В)=Р(Х2<x2/x1принB)=P(X2<x2,x1прин.В)/Р(х1 прин.В)
F(x2/x1) – условная функция распределения.
F(x2)=F(x2/x1), если х1 и х2 – независимы
F(x2)≠ F(x2/x1), если х1 и х2 – зависимы
х1 и х2 независимы, если F(x1,x2)=F(x1)F(x2) для люб. х1 и x2
Мат.ожид – некий центр, около кот. колеб. зна-ия сл.в.
14.Мат.Ожидание и дисперсия, св-ва.Моменты и квант
Мат.ожид – некий центр, около кот. колеб. зна-ия сл.в.
Свойства Е(х):
1) Е(с)=с
2) x1,х2 – сл.вел., тогда Е(х1+х2)=Е(х1)+Е(х2)
Док-во:
Р(x1=x1i,x2=x2j)=pij
E(x1+…+xn)=E(x1)+…+E(xn)
3) x1,х2 – нез. сл.вел., тогда Е(х1х2)=Е(х1)Е(х2)
Следствие: Е(сх)=сЕ(х)
Моменты: х – сл.вел., а – число. Момент порядка к: μk=Е((х-а)k)
а=0 – мом.начальный, а=Е(х) – мом.центральный
Дисперсия – центральн.моент второго порядка.
D(x)=E((x-E(x))2), D(x)=E(x2)-E2(x), D(x) ≥0
Дисп – мера разброса сл.в. относит. Ее мат.ожид.
1) D(c)=0
D(c)=E((c-E(c))2)=E((c-c)2)=E(0)=0
2)D(cx)=c2D(x)
D(cx)=E((cx-E(cx))2)=E((cx-cE(x))2)=c2D(x)
3) Если сл.в. х1,…,хn – нез, то D(x1+…+xn)=D(x1)+…+D(xn)
Квантиль порядка λ – решение уравнение F(xλ)=λ (0<λ<1)
λ=1/2 – медианный
λ=1/4,1/2,3/4 –квартили
15.Неравенство Чебышева и его роль в тв
Х – сл.вел., Е(х)=а, D(х)=σ2, то для люб. ε>0:
P(|x-a|≥ εσ)≤1/ε2, P(|x-a|≤εσ) ≥1 - 1/ε2
Док-во: (непрер.случай): dF(x)=f(x)dx
x
≥ a+εσ
x-a ≥ εσ
(x-a)2
≥ε2σ2,
тогда:
