- •Лекция 2. Множество вещественных чисел (продолжение).
- •Лекция 3. Последовательности, предел последовательности.
- •Лекция 4. Предел последовательности ( продолжение)
- •Лекция 5. Предел функции.
- •Лекция 8 . Монотонные функции. Производная.
- •Лекция 9 . Производная функции 2.
- •Лекция 10 . Теоремы о среднем для производных.
- •Лекция 11 . Формула Тейлора.
- •Лекция 13. Исследование функции, график функции.
- •Лекция 12 . Формула Тейлора 2.
Лекция 12 . Формула Тейлора 2.
П.1 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
ТЕОРЕМА 1. (обобщенная теорема Коши)
Пусть
даны функции
,
,
определенные на отрезке
,
имеющие непрерывные производные до
порядка
на
интервале
,
причем
1)
(производные
в точке
a
правые)
2)
,
3)
,
для
.
Тогда
существует
,
для которого
.
ДОК.
Применим последовательно теорему Коши:
существует
:
.
На
отрезке
выполняются
условия теоремы Коши и существует
,
для которого
.
Продолжая, на отрезке
существует
точка
,
для которого
.
Пусть
функция
непрерывна
и имеет непрерывные производные до (
n+
1) порядка на конечном отрезке
.
Тогда существует
,
для которого
,
где
(
остаточный член в форме Лагранжа).
ДОК.
Применим обобщенную теорему Коши для
функций
и
.
Условия теоремы проверялись для функции
(см.
пример) и очевидны для функции
.
Тогда существует точка
,
для которой
.
ОПР.
Функция возрастает в точке
,
если
для
любых достаточно малых
,
т.е. положительным приращениям аргумента
соответствуют положительные приращения
функции и уменьшению аргумента (
)
соответствует уменьшение значения
функции (
).
ОПР.
Функция убывает в точке
,
если
для
любых достаточно малых
,
т.е. положительным приращениям аргумента
соответствуют отрицательные приращения
функции и уменьшению аргумента (
)
соответствует увеличения значения
функции (
).
ОПР.
Интервал
называется
интервалом возрастания (убывания)
функции
,если
каждая его внутренняя точка является
точкой возрастания (убывания) функции.
Пусть
функция
дифференцируема
на интервале
и
(
)
,
.
Тогда функция
строго
возрастает (убывает) на интервале
.
ДОК.
(1) Пусть
.
Тогда по теореме о среднем Лагранжа
существует
,
для которого
.
Таким
образом, интервалы монотонности функции
совпадают с интервалами знакопостоянства
ее производной. Для их нахождения
необходимо найти производную функции,
приравнять ее нулю и найти точки из
области определения функции, в которых
производная равна нулю или не существует.
Эти точки, называемые критическими,
являются границами интервалов
монотонности. Если на одном из них
производная
,
то это интервал возрастания функции,
в противном – интервал убывания. Точка,
в которой
,
может служить границей противоположных
интервалов монотонности или, например,
двух интервалов возрастания, которые
можно объединить в один.
ПРИМЕР
1. Функция
строго
возрастает на R,
но имеет точку
критической.
Понятия
локального экстремума (максимума или
минимума) можно сформулировать в
терминах приращения функции : функция
имеет
в точке
строгий
локальный максимум , если ее приращение
для
любых достаточно малых
.
Для локального минимума знак неравенства
противоположный. Для не строгого
локального максимума знаки неравенства
не строгие.
Пусть
в точке
функция
имеет
локальный экстремум. Тогда либо
,
либо производной в точке
не
существует.
ДОК.
(1) для максимума. Если производной в
точке
нет,
то теорема доказана. Если производная
существует, то
и
,
т.е.
.
ПРИМЕР
2. Функция
имеет
в точке
строгий
локальный минимум, хотя в точке
производной
у функции нет.
Пусть
точка a
является границей двух интервалов
монотонности
и
,
функция
непрерывна
в точке
,
причем
(1)
интервал
является
интервалом возрастания, а
-
интервалом убывания функции. Тогда в
точке
функция
имеет локальный максимум.
(2)
интервал
является
интервалом убывания , а
-
интервалом возрастания функции. Тогда
в точке
функция
имеет локальный минимум.
ДОК.
(1) Из непрерывности функции в точке
и
монотонного роста функции на интервале
следует,
что
и
для
.
Аналогично,
и
для
.
Тогда
для
достаточно малых
.
Если предположить строгую монотонность
на интервалах
и
,
то экстремум будет строгим.
Если
точка
критическая
и существует
,
то в точке
функция
имеет локальный минимум, если
,
и локальный максимум, если
.
ДОК.
Заметим, что в условиях теоремы
.
Разложим функцию
по
формуле Тейлора в окрестности точки
:
.
Тогда
в малой окрестности точки
,
приращение
сохраняет
знак производной
.
Если
,
то
для
достаточно малых значений
,
т.е. в точке
локальный
минимум. Если
,
то
для
достаточно малых
и
в точке
-
локальный максимум. Последняя теорема
обобщается на случай производных более
высоких порядков.
Если
в точке
производные
,
,
то
в точке
функция
имеет локальный минимум, если
и
максимум, если
.
ДОК.
Воспользуемся формулой Тейлора :
.
Тогда знак приращения
определяется
знаком производной
.
УПРАЖНЕНИЕ.
Каково поведение функции в окрестности
точки
,
если
,
а
?
1) Обобщенная теорема Коши и формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
2) Возрастание функции в точке и на интервале. Теорема о достаточном условии возрастания функции на интервале. Нахождение интервалов монотонности.
3) Локальный экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума по первой производной.
Достаточное условие экстремума по второй производной и четной производной.
Лекция 13. Исследование функции, график функции.
П.1 Выпуклость функции.
ОПР.
Функция
в
точке
называется
выпуклой (вниз), если выражение
.
ОПР.
Функция
в
точке
называется
выпуклой (вверх), если выражение
ОПР.
Функция
называется
выпуклой (вниз или вверх) на интервале
,
если она выпукла (вниз или вверх) в
каждой точке этого интервала.
(1)
Если при всех
и
при всех
,
то функция выпукла (вверх) в точке
,(2)
Если при всех
и
при всех
,то
функция выпукла (вниз) в точке
.
ДОК.(1)
На отрезке
применим
к функции теорему Лагранжа :
.
Тогда
На
отрезке
применим
к функции теорему Лагранжа:
.
Доказательство (2) самостоятельно.
ТЕОРЕМА 2. ( ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВЫПУКЛОСТИ по второй производной)
(1)
Если для всех
,
то функция выпукла (вверх) на интервале
.
(2)
Если для всех
,
то функция выпукла (вниз) на интервале
.
ДОК.
(1) Пусть
произвольная
точка интервала
.
для
всех
,
т.е. функция выпукла (вверх) в точке
.
Для нахождения интервалов выпуклости необходимо: 1) найти вторую производную функции ; 2) определить критические точки второго рода, т.е. точки в которых вторая производная равна нулю, либо не существует ; 3) расположить критические точки на числовой оси (на области определения функции) и разбить ее на интервалы, границами которых являются критические точки второго рода ;4) выяснить знак второй производной на каждом из интервалов и определить характер выпуклости.
П.2 Точка перегиба.
ОПР.
Точка
называется
точкой перегиба функции
,
если производная
функция
непрерывна в этой точке и
является
границей двух различных интервалов
выпуклости (вверх и вниз).
Если
точка
перегиба, то либо
,
либо вторая производная в точке
не
существует.
ДОК.
Если вторая производная не существует,
то теорема доказана. Если она существует,
но не равна нулю, то выражение
сохраняет
знак в малой окрестности
,
т.е. функция выпукла (вверх или вниз) в
точке
и
она точкой перегиба не является.
Пусть
функция
в
окрестности точки
удовлетворяет
условиям :1) существует
для
всех
2)
и
(
или
и
)
Тогда
в точке
перегиб.
ДОК.
Из условия 1) теоремы следует, что
непрерывна
в точке
.Из
условия 2) и теоремы 2 следует, что
интервалы
и
являются
интервалами выпуклости функции
вверх
и вниз или наоборот.Тогда
-
точка перегиба.
ОПР.
Прямая
называется
вертикальной асимптотой графика функции
,
если функция является бесконечно
большой в точке
.
ПРИМЕР
1. Для функции
прямая
является
вертикальной асимптотой, а прямая
асимптотой
не является.
ОПР.
Прямая
называется
горизонтальной асимптотой графика
функции
на
бесконечности, если
.
ПРИМЕР
2. Прямая
является
горизонтальной асимптотой графика
функции
на
,
поскольку
==
.
Заметим,
что на
функция
не имеет горизонтальной асимптоты.
ОПР.
Прямая
называется
наклонной асимптотой графика функции
на
бесконечности, если
ТЕОРЕМА
5. Если график функции
имеет
прямую
своей
наклонной асимптотой, то
,
.
ДОК.
По условию
,
где
-
бесконечно малая функция на бесконечности
и
.
Поскольку
-
бесконечно малая функция на бесконечности,
то
.
По условию
и
по теореме
.
ТЕОРЕМА
6. Если для функции
существуют
пределы
и
,
то прямая
является
наклонной асимптотой ее графика.
ДОК.
По условию
.
Тогда
ПРИМЕР
3. Функция
имеет
на
прямую
своей
наклонной асимптотой. Действительно,
и
=
=0,5.
При построении графика функции полезно следовать следующей схеме:1) Найти область определения функции.2) Определить особенности функции: четность, нечетность, периодичность или его отсутствие.3) Вычислить первую производную функции.
4) Отметить на области определения функции критические точки первого рода, отметить интервалы монотонности и определить характер монотонности (возрастание или убывание).
5) Среди критических точек отметить точки экстремума (максимума или минимума).6) Вычислить вторую производную функции.7) Отметить на области определения функции критические точки второго рода, отметить интервалы выпуклости и определить характер выпуклости (вниз или вверх).
8) Среди критических точек второго рода отметить точки перегиба.9) Установить асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные, наклонные ).10) Построить график функции с учетом обнаруженных в пунктах 1)-9) особенностей.
ПРИМЕР
4. Построить график функции
.
Решение.
1)
2)
общего вида 3)
)
при
и
при
.
Критические точки первого рода
и
,
в них производной нет ( она бесконечно
большая, вертикальная касательная) 5)
точек экстремума нет.
6)
7)
Критические точки второго рода
и
,
в них производной нет, функция на области
определения выпукла вверх. 8) точек
перегиба нет.
9)
Вертикальных асимптот нет, прямая
-горизонтальная
асимптота на
и
прямая
является
наклонной асимптотой на
.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1) Выпуклость функции, достаточное условие выпуклости по первой производной, достаточное условие выпуклости по второй производной.
2) Точка перегиба, необходимое условие перегиба, достаточное условие перегиба.
3) Асимптоты графика функции : вертикальные, горизонтальные, наклонные. Необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты.
4) Общая схема исследования функции и построения ее графика. Проиллюстрировать схему на примере по выбору.