- •Лекция 2. Множество вещественных чисел (продолжение).
- •Лекция 3. Последовательности, предел последовательности.
- •Лекция 4. Предел последовательности ( продолжение)
- •Лекция 5. Предел функции.
- •Лекция 8 . Монотонные функции. Производная.
- •Лекция 9 . Производная функции 2.
- •Лекция 10 . Теоремы о среднем для производных.
- •Лекция 11 . Формула Тейлора.
- •Лекция 13. Исследование функции, график функции.
- •Лекция 12 . Формула Тейлора 2.
Лекция 9 . Производная функции 2.
П.1 Производная обратной функции.
ТЕОРЕМА 1.(производная обратной функции)
Пусть
непрерывная,
строго монотонная (возрастающая или
убывающая) функция на отрезке [a;b]
и имеющая в точке
производную
.
Тогда обратная функция
имеет
производную в точке
и
ДОК.
=
.
ТЕОРЕМА 2. (производная сложной функции)
Пусть
функция
,
определенная и непрерывная в окрестности
,
имеет производную в точке
.
Функция
определена
и непрерывна в окрестности
,
где
,
и имеет производную в точке
.
Тогда сложная функция
имеет
производную в точке
и
ДОК.
,
где
и
б.м.ф.
Тогда
и
,
где
б.м.ф.
в точке
.
Тогда
.
(1)
(2)
.
(3)
(4)
(5)
.
6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
ДОК.
(10)
(11)
.
(12)
(13)
(1)
(2)
=
.
(3)
.
(4)
.
(6)
.
(7)
(8)
(9)
(5)
– самостоятельно.
ОПР.
Функция
называется
дифференцируемой в точке
,
если ее приращение можно представить
в виде:
,
где
-
б.м.ф. в точке
.
ОПР.
Главная линейная часть приращения ,
величина
,
называется дифференциалом функции
в
точке
.
Существование
производной функции
в
точке
является
необходимым и достаточным условием ее
дифференцируемости.
ДОК.
(1) Пусть функция
дифференцируема.
Тогда
и
.
(2)
Если функция
имеет
производную
,
тогда по теореме о связи
,
где
б.м.ф.,
т.е.
,
при
.
СЛЕДСТВИЕ.
Дифференциал функции
имеет
вид
.
Функция
имеет
производную, равную 1, поэтому
.
Тогда
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл дифференциала.
Уравнение
касательной, проведенной к графику
функции
в
точке
,
имеет вид:
Приращение
ординаты касательной, соответствующей
изменению аргумента на
равно
,
т.е. значению дифференциала
.
Если
-
функция независимой переменной
y
,
то ее дифференциал имеет форму
.
Если
сложная
функция и
,
то
т.е. форма записи дифференциала не зависит от того, является ли y независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство дифференциала называется его инвариантностью.
П.5 Арифметические операции с дифференциалами.
(1)
(2)
.
(3)
П .6 Производная и дифференциал функций, заданных параметрически.
Функцию
можно
задавать с помощью двух отображений
и
композицией
.
Такую функцию записывают в форме
,
.
Существование
может
обеспечить, например, строгая монотонность
функции
.
ПРИМЕР
1. Функция
на
отрезке [-1; 1] может быть задана
параметрически:
,
.
Тогда
ТЕОРЕМА 4.(о дифференцируемости функции заданной параметрически)
Пусть
функция
задана
параметрически
,
,
причем
-
дифференцируемые на отрезке
функции
и
.Тогда
в каждой точке x
,
соответствующей значению t
,
т.е.
,
существует производная
,
равная
и
дифференциал
ДОК.
(1)
.
(2)
.
УПРАЖНЕНИЯ.
1) Постройте для функции
,
определенной на
,
обратную функцию и найдите ее производную.
2)
Неявную функцию, заданную уравнением
,
записать в параметрической форме и
найти ее производную в точке
.
1) Теорема о производной обратной функции.
2) Теорема о производной сложной функции.
3) Таблица производных элементарных функций.
(с доказательством)
4) Дифференцируемость функции, теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости.
5) Дифференциал функции, связь дифференциала с производной, геометрический смысл дифференциала, инвариантность формы дифференциала.
6) Производная и дифференциал функции, заданной параметрически.