- •Лекция 2. Множество вещественных чисел (продолжение).
- •Лекция 3. Последовательности, предел последовательности.
- •Лекция 4. Предел последовательности ( продолжение)
- •Лекция 5. Предел функции.
- •Лекция 8 . Монотонные функции. Производная.
- •Лекция 9 . Производная функции 2.
- •Лекция 10 . Теоремы о среднем для производных.
- •Лекция 11 . Формула Тейлора.
- •Лекция 13. Исследование функции, график функции.
- •Лекция 12 . Формула Тейлора 2.
Лекция 11 . Формула Тейлора.
П.1 Производные и дифференциалы высших порядков.
ОПР. Производной второго порядка называют производную от функции первой производной. В общем случае,
ПРИМЕРЫ Доказать, что
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
ДОК.
По индукции. (3) 1) при
n
= 1
2)
предположение
.
Тогда
.
ПРИМЕР.
Найти вторую производную функции,
заданной параметрически:
,
.
.
Так
В
общем случае,
ДОК.
Если сложная функция получена композицией
функций
и
,
то
и
.
Если
y
– независимая переменная, то
,
т.е. форма второго дифференциала
неизменна, если
,
в остальных случаях при переходе к
сложной функции второй дифференциал
изменяет свою форму.
Найдем
коэффициенты многочлена
.
Заметим,
что
коэффициенты бинома Ньютона. Тогда
П.2 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и ее приложения.
ПРИМЕР. ( многочлен Тейлора)
Для
каждой функции
,
имеющей n
производных в точке
,
можно написать многочлен Тейлора:
.
Заметим,
что многочлен бинома Ньютона является
многочленом Тейлора функции
в
точке
.
Разность
называют
остатком формулы Тейлора. Отметим
некоторые свойства функции
:
1)
,
поскольку
.
2)
,
для
т.к.
.
3)
.
Если
существует производная
,то
.
П.
3 Формулы Тейлора для основных элементарных
функций.(
)
(1)
,
(2)
,
(3)
,
(4)
,
(5)
,
(6)
,
(7)
ДОК.
(2)
(3)
,
,
,
(1)
(4)
,
,
,
.
ТЕОРЕМА 2.
Пусть
бесконечно
малая функция в точке
и
ее производные
существуют
в точке
до
порядка
n
, причем
,
а
.
Тогда
ДОК.
По формуле Тейлора
=
.
П.5
Таблица (расширенная) эквивалентностей
элементарных функций.
.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
ДОК.
(3)
,
,
.
(4)
,
,
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1) Производные и дифференциалы высших порядков. Вторая производная функции, заданной параметрически.
2) Многочлен Тейлора, формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
3) Формула Тейлора для элементарных функций
(с доказательством).
4) Формула для эквивалентной бесконечно малой функции. Таблица эквивалентностей.