Лекция 3. Последовательности, предел последовательности.

(2)

(3)

(4)

(6)

(геом. прогр.) (7)

.

ОПР.Последовательность

ограничена (сверху, снизу), если этим свойством обладает множество ее значений.

ОПР. Последовательность

монотонно возрастает (убывает), если

(

) для любого n. Если неравенства строгие, говорят о строгом возрастании (убывании) последовательности.

В примерах (1) монотонно возрастающая, ограниченная последовательность. (2) ограниченная, не монотонная последовательность. (3) монотонно возрастающая, неограниченная последовательность (4) неограниченная, не монотонная последовательность.(5) неограниченная, монотонно убывающая при d<0, монотонно возрастающая при d>0.(6) ограниченная при

, неограниченная при

,монотонная при

, не монотонная при

.

ОПР. Множество

называют выколотой окрестностью точки х₀.

ОПР. Число В называют предельной точкой (частичным пределом) последовательности

, если

окрестность

В примерах (1) число В=3 является единственной предельной точкой последовательности. (2) числа

являются предельными точками последовательности. (3), (4), (5) предельных точек не имеют (6) число В=0 предельная точка при

, при

предельных точек нет.

ОПР. Число А называется пределом , если А – предельная точка и вне любой окрестности

содержится не более конечного числа членов последовательности

, или

.

следует существование отрезка [c₁;b₁], для которого

. Разделим отрезок пополам и выберем ту половину

, которая содержит бесконечное число

. Если обе половины обладают этим свойством, то выбираем любую. Делим отрезок

пополам и выбираем ту половину

, которая содержит бесконечное число

. Продолжая процесс деления, построим систему стягивающихся , вложенных отрезков

.

По теореме существует число В , принадлежащее каждому отрезку

. Тогда

окрестность

содержит отрезок

с достаточно большим номером n_ , но тогда , по построению последовательности

в окрестности

содержится бесконечное число членов последовательности

.

ОПР. Последовательность

называется подпоследовательностью

, если

.

Всякая предельная точка подпоследовательности

является предельной точкой последовательности

.

ТЕОРЕМА 2. Если последовательность

имеет предельную точку В, то существует сходящаяся ее подпоследовательность, имеющая В своим пределом.

ДОК. Выберем в каждом отрезке

, описанном в ТЕОРЕМЕ 1, член

последовательности

. Тогда подпоследовательность

,

, имеет по построению число В своим пределом.

В примере (2) подпоследовательность

,

имеет предел В₁=1, подпоследовательность

,

имеет предел В₂=0,5, подпоследовательность

,

имеет предел

В₃= - 0,5, подпоследовательность

,

имеет предел В₄= - 1, (4) подпоследовательность

,

имеет предел В₁=1, подпоследовательность

,

имеет предел В₂= - 1.

ТЕОРЕМА 3. Если последовательность

имеет предел равный А, то любая ее подпоследовательность сходящаяся, причем А является ее пределом.

и

произвольно мало. Тогда, по определению предела, множество E_a значений членов последовательности

с номерами

принадлежат

и поэтому является ограниченным. Если добавит к E_a конечное множество значений

с номерами

, то полученное множество также будет ограниченным.

ТЕОРЕМА 5. Если последовательность

имеет предел, то он единственный.

ДОК. Пусть таких пределов два : А₁ и А₂. Выберем

. Тогда окрестности

и

не пересекаются и в каждой из них должны содержатся все члены последовательности , кроме конечного их числа, что невозможно.

следует ограниченность

. Тогда по теореме 1 у нее есть предельная точка А. Докажем, что А является пределом последовательности

. Пусть

произвольная окрестность точки А. Из того, что А предельная точка следует, что

ОПР. Пусть М_а – множество предельных точек последовательности

. Предположим, что оно не пусто и ограничено. Тогда числа

и

называют верхним и нижним пределами последовательности

.

ограничена, то числа

и

являются предельными точками, т.е. принадлежат

.

ДОК. Построим подпоследовательность

, предел которой равен

. По определению

, для

существует

:

. Тогда подпоследовательность

сходящаяся и

ее предел, т.е.

- предельная точка.

Доказательство для

аналогично.