Проверка статистических гипотез.
Определение статистической гипотезы.
Статистической называется гипотеза о предполагаемом виде неизвестного распределения или утверждение относительно значений одного или нескольких параметров известного распределения. Например, совокупность наблюдаемых значений распределена по закону Пуассона, математическое ожидание случайной величины равно – статистические гипотезы.
Гипотеза,
которая подвергается проверке, называется
нулевой
и обозначается
.
Альтернативной
гипотезой
называется гипотеза, конкурирующая с
нулевой, т. е. ей противоречащая. Простой
называется гипотеза, содержащая только
одно предположение. Сложная гипотеза
состоит из конечного или бесконечного
числа простых гипотез.
Проверка гипотезы о равенстве статистических средних.
Статистической гипотезой называется предположение о виде неизвестно-го распределения случайной величины или о параметрах известного распре-деления. Наряду с проверяемой гипотезой (нулевой, или основной) Но форму-лируется и противоречащая ей гипотеза (конкурирующая, или альтернатив-ная) Н1, которая принимается, если отвергнута нулевая гипотеза.
Гипотезы разделяются на простые (содержащие только одно предположе-ние) и сложные (содержащие более одного предположения).
При проверке гипотезы могут быть допущены ошибки двух видов: ошибка первого рода, если отклонена верная нулевая гипотеза, и ошибка второго рода, если принята неверная нулевая гипотеза.
Для проверки статистической гипотезы используется специально подобран-ная случайная величина К с известным законом распределения, называемая статистическим критерием. Множество ее возможных значений разбивает-ся на два непересекающихся подмножества: одно из них (критическая область) содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отклоняется, второе (область принятия гипотезы) — значения К, при которых она принимается. Значения К, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы, называются критическими точками kр. Критическая область может быть правосторонней (если она задается неравенством ), левосторонней () или двусторонней (). Для ее нахождения нужно задать вероятность ошибки первого рода α, называемую уровнем значимости; тогда, например, правосторонняя критическая область задается условием .
Порядок проверки статистической гипотезы таков:
1) задается уровень значимости α, выбирается статистический критерий К и вычисляется (обычно по таблицам для закона распределения К) значение kкр; определяется вид критической области;
2) по выборке вычисляется наблюдаемое значение критерия Кнабл;
3) если Кнабл попадает в критическую область, нулевая гипотеза отвергается; при попадании Кнабл в область принятия гипотезы нулевая гипотеза принимается.
Рассмотрим способы проверки некоторых статистических гипотез.
1. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
Пусть имеются две выборки объемов п1 и п2, извлеченные из нормально распределенных генеральных совокупностейХ и Y. Требуется по исправлен-ным выборочным дисперсиям и проверить нулевую гипотезу о равен-стве генеральных дисперсий рассматриваемых генеральных совокупностей:
Ho: D (X) = D (Y).
Критерием служит случайная величина отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, которая при условии справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы k1 = n1 — 1 и k2 =n2 — 1. Критическая область зависит от вида конку-рирующей гипотезы:
1) если H1: D (X) > D (Y), то критическая область правосторонняя:
Критическая точка находится по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора. Если нулевая гипотеза принимается, в противном случае — отвергается.
2) При конкурирующей гипотезе H1: D (X) ≠ D (Y) критическая область двусторонняя: При этом достаточно найти Тогда, если нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, если нулевую гипотезу отвергают.
Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий.
Проверка
гипотезы о равенстве дисперсий особенно
важна в различных экспериментах над
случайными величинами, поскольку знание
дисперсии позволяет оценить степень
рассеивания случайной величины и
соответственно судить о точности и
надежности результатов. Как и в предыдущей
задаче, проводятся две серии опытов по
и
испытаний, а полученные экспериментальные
данные имеют нормальное распределение
с параметрами
и
соответственно. По опытным данным
найдены несмещенные оценки
и
.
Ставится задача определить, лежит ли
различие между этими оценками в границах
возможных случайных изменений, т. е.
можно ли оба значения рассматривать
как оценки дисперсии одной и той же
случайной величины
,
имеющей нормальное распределение.
Таким
образом, необходимо проверить гипотезу
.
В качестве альтернативной гипотезы
выбирается гипотеза
.
При сравнении дисперсий в качестве проверочной статистики выбирается случайная величина
.
(8.26)
Распределение
величины
находим из условия, что при справедливости
гипотезы
дисперсии равны, т. е.
.
Поэтому перепишем выражение (8.26), учитывая
(8.19) в виде
. (8.27)
Соотношение
(8.27) не зависит от неизвестного параметра
.
Случайная величина
имеет распределение Фишера или
F-распределение
с
и
степенями свободы.
Критическими для проверяемой гипотезы являются значения:
;
.
Для сокращения объема таблиц процентных точек распределения Фишера за значение принимается большая из полученных оценок дисперсии.
Критерий согласия хи-квадрат.
Критерий 
-
статистический критерий для проверки
гипотезы 
,
что наблюдаемая случайная величина
подчиняется некому теоретическому
закону распределения.
Определение
Пусть дана случайная величина X .
Гипотеза
:
с. в. X подчиняется закону распределения 
.
Для проверки
гипотезы рассмотрим выборку, состоящую
из n независимых наблюдений над с.в.
X: 
.
По выборке построим эмпирическое
распределение 
с.в
X. Сравнение эмпирического
и
теоретического распределения
(предполагаемого
в гипотезе) производится с помощью
специально подобранной функции — критерия
согласия.
Рассмотрим критерий согласия Пирсона
(критерий
):
Гипотеза 
:
Хn порождается
функцией
.
Разделим
[a,b] на k непересекающихся интервалов 
;
Пусть 
-
количество наблюдений в j-м интервале: 
;
-
вероятность попадания наблюдения в
j-ый интервал при выполнении гипотезы
;
-
ожидаемое число попаданий в j-ый интервал;
Статистика: 
- Распределение
хи-квадрат с
k-1 степенью свободы.