Функции случайных величин.
Понятие о функции случайной величины.
Среди
практических приложений теории
вероятностей особое место занимают
задачи, требующие нахождения законов
распределения и/или числовых характеристик
функций случайных величин. В простейшем
случае задача ставится следующим
образом: на вход технического устройства
поступает случайное воздействие
;
устройство подвергает воздействие
некоторому
функциональному преобразованию
и на выходе дает случайную величину
(см. рис. 6.1). Нам известен закон распределения
случайной величины
,
и требуется найти закон распределения
и/или числовые характеристики случайной
величины
.
Можно
выделить три основные возникающие
задачи:
1.
Зная закон распределения случайной
величины
(или случайного вектора
),
найти закон распределения выходной
случайной величины
(или
).
2. Зная закон распределения случайной величины , найти только числовые характеристики выходной случайной величины.
3. В некоторых случаях (при особых видах преобразования ) для нахождения числовых характеристик выхода не требуется знать закон распределения входной случайной величины , а достаточно знать только его числовые характеристики.
Рассматриваем случайную величину , зависящую функционально от случайной величины , т. е. . Пусть случайная величина дискретна и известен ее ряд распределения:
Х: |
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
… |
|
… |
|
, |
,
где
.
Математическое ожидание и дисперсия функции случайной величины.
Находя сумму произведений возможных значений случайной величины на их вероятности, получаем
. (6.1)
Таким образом, зная только закон распределения аргумента , можно найти математическое ожидание функции случайной величины.
Аналогично находим дисперсию случайной величины :
.
Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин.
В
некоторых задачах числовые характеристики
системы случайных величин
можно определить как функции числовых
характеристик системы случайных величин
.
В этом случае не требуется даже знание
закона распределения аргумента, например
совместную плотность распределения
,
а достаточно иметь только числовые
характеристики этой системы случайных
величин. Для решения таких задач
сформулированы следующие теоремы о
числовых характеристиках функций
случайных величин:
1.
, 3.
,
2.
, 4.
,
где
– неслучайная величина.
5.
для любого числа слагаемых, как
независимых, так и зависимых, коррелированных
и некоррелированных.
6. Математическое ожидание от линейной комбинации случайных величин равно той же линейной функции от математических ожиданий рассматриваемых случайных величин:
.
7. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме всех элементов корреляционной матрицы этих случайных величин
.
8. Дисперсия линейной функции случайных величин определяется по формуле
.
9. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению математических ожиданий плюс ковариация
.
Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий
.
10. Дисперсия произведения независимых случайных величин выражается формулой
Если случайные величины независимые и центрированные, получаем
.
Закон распределения функции случайного аргумента.
Есть непрерывная случайная величина с плотностью распределения , связанная со случайной величиной функциональной зависимостью . Требуется найти закон распределения случайной величиной .
Рассмотрим
случай, когда
строго монотонна, непрерывна и
дифференцируема на интервале
всех возможных значений случайной
величиной
.
Функция
распределения
случайной величиной
по
определению есть
.
Если функция
монотонно
возрастает
на участке всех возможных значений
случайной величиной
,
то событие
эквивалентно событию
,
где
есть функция, обратная
функции
.
Когда случайная величина
принимает з
начения
на участке
,
то случайная точка
перемещается по кривой
(ордината полностью определяется
абсциссой) (см. рис. 6.2). Из строгой
монотонности
следует монотонность
,
и поэтому функцию распределения случайной
величиной
можно записать следующим образом:
.
Дифференцируя это выражение по , входящему в верхний предел интеграла, получаем плотность распределения случайной величиной в виде
. (6.2)
Если функция на участке возможных значений случайной величиной монотонно убывает, то, проведя аналогичные выкладки, получаем
. (6.3)
Диапазон возможных значений случайной величиной может быть в выражениях (6.2) и (6.3) от до .
Так как плотность распределения не может быть отрицательной, то формулы (6.2) и (6.3)можно объединить в одну
.
Закон распределения суммы двух случайных величин и композиция законов распределения.
Имеем
систему двух непрерывных случайных
величин
и
их сумму – случайную величину
.
Необходимо найти закон распределения
случайной величины
,
если известна совместная плотность
распределения системы
.
Функция
распределения
– это площадь области
на плоскости
,
где выполняется неравенство
(см. рис. 6.3), т. е.
.
П
родифференцировав
это выражение по
,
получаем плотность распределения
вероятности случайной величины
.
Линеаризация функций случайных величин.
В некоторых частных случаях числовые характеристики функций случайных величин можно найти, используя только числовые характеристики аргументов таких функций. Особенно простые соотношения существуют между числовыми характеристиками функций и числовыми характеристиками аргументов, если функции линейны. Во многих практических применениях нелинейные зависимости в определенном диапазоне заменяются линейными.
Линеаризацией функции называется приближенная замена нелинейной функции линейной, что позволяет достаточно просто находить числовые характеристики функций случайных величин.
Таким образом, при приближенной замене нелинейной функции линейной получаем
.
Комплексные случайные величины.
Комплексной случайной величиной называется случайная величина вида
,
где
и
– действительные случайные величины;
.
При этом – действительная часть комплексной случайной величины , а – мнимая часть.
Комплексная
случайная величина может быть представлена
либо случайной точкой
,
либо случайным вектором
на комплексной плоскости
(см. рис. 6.5).
Случайная
величина
– длина случайного вектора
называется модулем комплексной случайной
величины
:
.
Случайная величина является действительной.
Случайный
угол (фазовый угол)
называется аргументом комплексной
величины
.
Действительная случайная величина
определяется выражением
.
Характеристическая функция и ее свойства.
Введем комплексную случайную величину
,
где
– действительная случайная величина
с известным законом распределения;
– параметр, имеющий размерность, обратную
размерности случайной величины
.
Характеристической функцией случайной величины называется математическое ожидание комплексной случайной величины :
. (6.8)
Для
дискретной случайной величины
,
принимающей значения
с вероятностями
,
характеристическая функция будет иметь
вид
.