11. Основные понятия и задачи математической статистики.

Генеральная и выборочная совокупности.

Математическая статистика – это математическая наука посвященная разработке методов описания и анализа статистических экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений массовых случайных явлений.

Значительная часть математической статистики связана с описанием и анализом больших совокупностей объектов, объединенных по некоторому качественному или количественному признаку . Такая группа объектов называется статистической совокупностью. Если исследуемая совокупность слишком многочисленна, либо ее элементы малодоступны, либо имеются другие причины, не позволяющие изучать сразу все ее элементы, прибегают к изучению какой-то части этой совокупности. Эта выбранная для полного исследования группа элементов называется выборочной совокупностью или выборкой, а все множество изучаемых элементов – генеральной совокупностью. Под выборкой понимается последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин, т. е. каждая выборка значений случайной величины рассматривается как результат независимых повторных испытаний. Объемом совокупности называется число объектов, входящих в эту совокупность. Например, если из 10 000 микросхем для проверки качества отобрано 200 штук, то объем генеральной совокупности равен 10 000, а выборочной – 200.

Типичные задачи математической статистики.

1. Определение закона распределения случайной величины. По результатам независимых наблюдений случайной величины требуется оценить неизвестную функцию распределения или плотность вероятности этой случайной величины.

2. Задача проверки правдоподобия гипотез. Из обширного круга задач, связанных с проверкой статистических гипотез, наиболее типичными являются две задачи. Первая: как согласуются результаты эксперимента с гипотезой о том, что исследуемая случайная величина имеет плотность распределения ? Вторая: не противоречит ли полученная оценка неизвестного параметра выдвинутой гипотезе о значении данного параметра?

3. Задача оценки неизвестных параметров распределения. Предполагается, что закон распределения исследуемой случайной величины известен до опыта из физических или теоретических предположений (например, нормальный). Возникает более узкая задача – определить некоторые параметры (числовые характеристики) случайной величины, т. е. по экспериментальным данным необходимо оценить значения этих параметров. С этой задачей отыскания "подходящих значений" числовых характеристик тесно связана задача оценки их точности и надежности.

Выборочная функция распределения.

Пусть изучается некоторая случайная величина (признак) с неизвестным законом распределения. Нужно определить закон из опыта и проверить гипотезу о том, что распределение случайной величины подчиняется именно этому закону. Для этого над случайной величиной производится ряд независимых испытаний (наблюдений), в каждом из которых принимает то или иное значение , ; – количество проведенных опытов. Вот эта совокупность наблюдаемых значений случайной величины и есть выборочная совокупность или выборка, которая представляет собой первичный статистический материал, подлежащий обработке и анализу. Выборка оформляется в виде таблицы, в первом столбце которой записаны номера опытов , а во втором – наблюдаемые значения случайной величины.

Пример. Случайная величина – значения напряжения на выходе генератора шума, взятые через 20 миллисекунд. Выборочная совокупность представлена в виде табл. 8.1.

Таблица 8.1

1	-2	8	8	15	2
2	-6	9	-3	16	-3
3	0	10	1	17	11
4	-5	11	11	18	1
5	-9	12	9	18	12
6	0	13	-8	20	-2
7	-7	14	-3

Упорядоченные в порядке возрастания значения признака дадут вариационный ряд, который может быть обработан различными методами. Один из таких способов – построение выборочной функции распределения случайной величины.

Выборочной функцией распределения случайной величины называется частота события

.

Статистическое распределение выборки.

Для придания выборочной совокупности или вариационному ряду компактности и наглядности статистический материал подвергается дополнительной обработке, т. е. строится так называемое статистическое распределение выборки. Для дискретного вариационного ряда статистическое распределение представляется в виде табл. 8.2, в первой строке которой записываются в возрастающем порядке варианты (элементы выборки) , а во второй – соответствующие им частоты .

Таблица 8.2

Варианты			…		…
Частоты			…		…

Графически статистическое распределение дискретного статистического ряда представляют в виде полигона (см. рис. 8.2), который строится следующим образом. На оси абсцисс откладываются значения варианта , а на оси ординат соответствующие им частоты . Полученные точки соединяются ломаной линией.

Графическое представление статистического распределения непрерывного вариационного ряда называется гистограммой (см. рис. 8.3). На оси абсцисс откладываются интервалы, и на каждом из них, как на основании, строится прямоугольник, площадь которого равна частоте соответствующего разряда. Для одинаковых по ширине интервалов высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частотам. Полная площадь гистограммы равна единице.

Н аиболее важные распределения.

Несколько примеров распределений дискретных и непрерывных случайных величин было приведено в лекциях 7 и 8. Важнейшим с точки зрения приложений математической статистики является нормальное (гауссово) распределение. В статистике широко используются еще три распределения, связанные с нормально распределенными случайными величинами. К ним относятся распределение (Пирсона), t-распределение (Стьюдента) и F-распределение (Снедекора – Фишера).

Стандартное нормальное распределение. Плотность распределения вероятности и функция распределения нормальной случайной величины определяются выражениями соответственно (4.29) и (4.38). Удобнее пользоваться стандартной случайной величиной

, (8.1)

где – математическое ожидание, – среднее квадратичное отклонение нормальной случайной величины .