Глава 6. Функции спроса и эластичность спроса

в точке (7, 65)

б. Средняя эластичность вычисляется по формуле дуговой эластичности:

-О,

(65-75)(₇

75)(7-5) (Н0)(2)

Предостережение. Следует заметить также, что средняя эластичность в сред­ней точке дуги не является средней между эластичностями конечных точек, т.е.

0,44*-0,43.

(-0,33) + (-0,54) _ _t 2

Точная дуговая эластичность может быть получена с использованием формулы дуговой эластичности.

Э ластичность и неэластичность. Коэффициент ценовой эластичности (определяе­мый или по точечной, или по дуговой формуле) состоит из двух компонентов: знака и величины. Знак указывает на относительное направление движения между двумя пе­ременными. Если знак отрицательный, то они движутся в противоположных на­правлениях, а если положительный, то они движутся в одном и том же направлении. Величина (абсолютная величина) коэффициента определяет степень чувствительности требуемого количества к изменению в цене, т.е.

если !е |= 1,0, то функция является удельно эластичной. Это означает, что измене­ние на 1% в цене может вызвать изменение на 1% в требуемом количестве;

если I е | > 1,0, то функция является эластичной. Это означает, что изменение на 1% в цене может вызвать большее, чем на 1% изменение в требуемом количестве;

если I е | < 1,0, то функция является неэластичной. Это означает, что изменение на 1,0% в цене может вызвать меньшее, чем на 1%, изменение в требуемом коли­честве.

Графическое измерение точечной эластичности

Предположим, что мы построили диаграмму кривой спроса на базе схемы спроса. Имеется ли возможность оценить ценовую эластичность визуальным наблюдением за кривой? Да, имеется.

Например, предположим, что мы имеем кривую линейного спроса АС (рис. 6.2), Точка В находится в середине АС, и мы хотим найти ее эластичность.

Во-первых, заметим, что треугольники АОС, АР_гВ, BFE, BQ_tC и EQ₂C подобны, поскольку все их соответственные углы равны. Следовательно, точка В расположена таким образом, что АВ = ВС; это означает, что OQ_l = £?,С и ОР_Х'— Р_ХА.

Затем берем подобные треугольники BFE a.nd BQ_tC. Предположим, что мы снижаем цену на очень небольшую сумму, скажем, с Р_{ до Р₂, т.е.

= BF,

178

Эластичность спроса

Э то ведет к тому, что требуемое количество возрастает с Q_t до Q₂, т.е.

AQ=Q_lQ₂ = FE.

В точке В цена Р равна ОР₁ долл., а количество Q равно OQ_y единиц. Следова­тельно,

Л<2 Р FE ^0Pi

Q BF OQ₁ Из подобия треугольников следует, что

_FE _ Q\^c BF BQ_X '

(5)

(6)

■?^{1 2 С}

Количество, требуемое за период

Q

Рис. 6.2. Графическое измерение точечной эластичности

Поскольку BQ_X = OP_V

Q_XC Q_XC

Ь Р Производя замещения в уравнении (5), мы получим

_ AQ р_₌ _^С ОР^

(7)

(8) 179

Глава 6. Функции спроса и эластичность спроса

О тсюда

ВС ВА

(9)

по подобию треугольников.

Поскольку В находится в середине линии АС (т.е. ВС = ВА), можно сделать вывод, что линейная функция спроса является удельно эластичной в средней точке АС. Отсю­да следует, что любая точка B_(Q _ на кривой линейного спроса пересекается с точкой А на оси Рис точкой С на оси Q,

если ВС = ВА, или ОР - РА, или QC - QO, то e_D = 1,0; если ВС > ВА, или ОР > РА, или QC > QO, то z_D > 1,0; если ВС < ВА, или ОР < РА, или QC < QO, то е_л < 1,0.

Для того чтобы найти ценовую эластичность в точке В на диаграмме криволиней­ной функции спроса, мы просто проводим линию между осями касательно к кривой спроса в точке В. Если мы обозначим пересечение прямой линии с осью Y как А, а пересечение с осью X как С, то эластичность будет представлена соотношением ВС/ВА, как мы и показали.

При помощи графического измерения эластичности можно увидеть зависимость между общими доходами, предельными доходами и эластичностью, которые оказыва­ются под воздействием изменения в цене.

Спрос, доход и ценовая эластичность

Функция спроса может быть записана так, чтобы показать, что требуемое количе­ство — это функция взимаемой цены, т.е. Q_x = f(P_x). Однако в теоретическом анализе спроса мы можем также использовать обратное выражение P_x = f(Q_x), которое явля­ется математически эквивалентным. Функция Р_х = f(Q_x) облегчает объяснение зави­симости общих и предельных доходов от изменений в спросе, а также зависимости «затраты — цена» в различных рыночных структурах.

Взяв наш предыдущий пример функции спроса для швейцарского сыра марки X, мы можем записать

Q_x-55-\QP_x (10)

или

7^=5,5-0,1^, (11)

что является математическим эквивалентом уравнения (10). Мы используем его для получения функции предельных доходов.

Применив уравнение (10), общие доходы можно выразить как

(12)

Применив уравнение (11), общие доходы можно выразить как

TR_X-

= (5,5 - Q,IQ_X)Q„= 5,5Q_X- 0,10?,

(13)

а ответы (в долларах) будут одинаковыми. Но производные уравнений (12) и (13) не одинаковы. Поскольку предельные доходы определяются изменениями в общих дохо­дах при продаже еще одной единицы, предельные доходы, MR^ можно определить, взяв производную по Q_xb уравнении (13):

MR =

dQX

= 5,5- 0,2Q

(14)

180

Эластичность спроса

О бщие доходы максимальные, если предельные доходы равны нулю:

MR_X = 5,5 -0,20^=0;

0,20, = 5,5; Q_x = 27,5 единиц. Следовательно, цена, при которой общие доходы являются максимальными, равна

Р_х=5,5 - Q,\Q_X = 5,5 - 0,1(27,5) = $2,75. При этой цене

TR= PQ = 2,75(27,5) = $75,63.

Ценовая эластичность, общие доходы и предельные доходы — все это функцио­нально связано с кривой спроса. Эти зависимости представлены на рис. 6.3.

Общие доходы и ценовая эластичность. На рис. 6.3 показано, что в верхней части кривой спроса (где цена выше) величина (абсолютное значение) коэффициента элас­тичности выше 1,0. Отсюда следует, что спрос эластичен. В нижней части кривой вели­чина коэффициента эластичности меньше 1,0, отсюда следует, что спрос неэластичен. В центре кривой, где цена составляет 2,75 долл., величина коэффициента эластично­сти равна 1,0, отсюда следует, что спрос является удельно эластичным.

На рисунке показано, что если спрос является эластичным, то снижение цены вызы­вает увеличение общих доходов. Почему? Потому что величина эластичности, большая, чем 1,0, означает следующее: если цену снизить на несколько процентов, то требуемое количество возрастет на гораздо больший процент. Увеличение количества проданных единиц компенсирует более низкую цену, а общие доходы возрастают. По той же самой причине, если спрос является неэластичным, то увеличение цены может вызвать увели­чение общих доходов, даже если будет продано меньшее количество единиц.

Максимальные доходы имеют место в том случае, если величина эластичности равна 1,0, как это показано на рис. 6.3. В этом случае любое изменение цены в любом на­правлении может привести к сокращению общих доходов.

Зависимость между изменением цен, эластичностью и общими доходами может быть изложена в следующем виде,

2. Если спрос эластичный (I e_D ! > 1,0): общий доход увеличивается, если уменьша­ ется цена; общий доход уменьшается, если увеличивается цена.

3. Если спрос неэластичный ( I е^,! < 1,0): общий доход увеличивается, если увели­ чивается цена; общий доход уменьшается, если уменьшается цена.

< 3. Если спрос удельно эластичен ( I e^, I = 1,0): общие доходы максимальны. Любые изменения в цене (в сторону увеличения или уменьшения) могут вызвать сокращение общего дохода.

Предостережение. Не путайте максимальные доходы с максимальной прибылью. Вы­числение прибыли требует учета как расходов, так и доходов.

Предельные доходы и ценовая эластичность. Как уже говорилось, предельные до­ходы могут быть вычислены на основе преобразования уравнения (13) следующим об-' разом:

I Ш_Х =

(15)

Возвращаясь назад к функции спроса уравнения (11), Р_х= 5,5 — 0,1 Q_r мы видим, |что наклон родственной функции предельных доходов в уравнении (15) как раз в два Ьаза круче. Отсюда вытекает, что кривая MR_X должна лежать точно на полпути между

181